Deze stelling geldt voor `n=1` , want `f(x) = cx^1` geeft `f'(x) = c*1x^(1-1) = cx^0 = c` . (Immers dan is `f` een lineaire functie met hellingsgetal `c` .)

Neem nu eens aan dat de formule voor een bepaalde `n` geldt. En stel dat je kunt aantonen dat daaruit volgt dat hij dan ook voor `n + 1` geldt. Dan geldt hij voor alle gehele positieve waarden van `n` , want uit de geldigheid voor `n = 1` volgt dan die voor `n = 1+1 = 2` en daaruit die voor `n = 2+1 = 3` , enzovoort...

Dus moet worden aangetoond: uit de regel geldt voor `n` volgt dat hij geldt voor `n+1` .
Je neemt dus aan dat als `f(x) = cx^n` dan is `f'(x) = ncx^(n-1)` , ofwel:

`lim_(h rarr 0) (c(x+h)^n - cx^n)/(h) = ncx^(n-1)`

Nu naar `n+1` .
Aangetoond moet worden: als `f(x) = cx^(n+1)` dan is `f'(x) = (n+1)cx^n` .

Dat doe je zo:

`f'(x) = lim_(h rarr 0) (c(x+h)^(n+1) - cx^(n+1))/(h) = lim_(h rarr 0) ((x+h)*c(x+h)^n - x*cx^n)/(h) =`
`= lim_(h rarr 0) ((x*c(x+h)^n - x*cx^n)+h(c(x+h)^n))/(h) =`
`= lim_(h rarr 0) (c(x+h)^n - cx^n)/h * x + c(x+h)^n = ncx^(n-1) * x + cx^n =` `ncx^n + cx^n = (n+1)cx^n`

Je ziet dat je gebruik moet maken van de geldigheid van de stelling voor `n` .
Daaruit volgt dus de geldigheid voor `n+1` .

Omdat de stelling geldig is voor `n=1` , is hij dat nu ook voor `n = 2, 3, 4, 5, ...`
Deze manier van bewijzen noem je wel het dominoprincipe: als de eerste steen omvalt, vallen alle daarop volgende stenen ook. In de wiskunde heet deze manier van bewijzen: de bewijsmethode met volledige inductie. Daarbij bewijs je een stelling voor een bepaalde gehele waarde van `n` . Vervolgens bewijs je dat vanuit de geldigheid voor een willekeurige `n` ook de geldigheid voor `n+1` volgt. Als dat lukt, heb je de stelling bewezen voor elke gehele `n` vanaf de gehele waarde waarmee je begon. En dat is ons hier gelukt...

Gegeven is `f(x)=u(x)+v(x)` .
De afgeleide is:

Hieruit volgt: `f'(x) = u'(x)+v'(x)`
De somregel geldt ook voor het verschil van twee functies. Neem dan `text(-)v(x)` in plaats van `v(x)` . Het bewijs is verder vergelijkbaar.