Afgeleide functies > Differentiëren
1234567Differentiëren

Theorie

De afgeleide van een functie is:

Hieruit zijn algemene regels af te leiden waarmee je de afgeleide sneller kunt vinden. Je noemt ze differentieerregels. Het toepassen ervan heet differentiëren.

  • De constanteregel is de differentieerregel voor constante functies.
    Als dan geldt: .

  • De machtsregel is de differentieerregel voor machtsfuncties.
    Als dan geldt voor elke waarde van en voor gehele positieve waarden van : .

> bewijs

Deze stelling geldt voor , want geeft . (Immers dan is een lineaire functie met hellingsgetal .)

Neem nu eens aan dat de formule voor een bepaalde geldt. En stel dat je kunt aantonen dat daaruit volgt dat hij dan ook voor geldt. Dan geldt hij voor alle gehele positieve waarden van , want uit de geldigheid voor volgt dan die voor en daaruit die voor , enzovoort...

Dus moet worden aangetoond: uit de regel geldt voor volgt dat hij geldt voor .
Je neemt dus aan dat als dan is , ofwel:

Nu naar .
Aangetoond moet worden: als dan is .

Dat doe je zo:



Je ziet dat je gebruik moet maken van de geldigheid van de stelling voor .
Daaruit volgt dus de geldigheid voor .

Omdat de stelling geldig is voor , is hij dat nu ook voor
Deze manier van bewijzen noem je wel het dominoprincipe: als de eerste steen omvalt, vallen alle daarop volgende stenen ook. In de wiskunde heet deze manier van bewijzen: de bewijsmethode met volledige inductie. Daarbij bewijs je een stelling voor een bepaalde gehele waarde van . Vervolgens bewijs je dat vanuit de geldigheid voor een willekeurige ook de geldigheid voor volgt. Als dat lukt, heb je de stelling bewezen voor elke gehele vanaf de gehele waarde waarmee je begon. En dat is ons hier gelukt...

  • De somregel is de differentieerregel voor de afgeleide van de som (of het verschil) van twee functies. Die afgeleide is de som van de afgeleiden van die functies, dus als dan geldt:

> bewijs

Gegeven is .
De afgeleide is:

Hieruit volgt:
De somregel geldt ook voor het verschil van twee functies. Neem dan in plaats van . Het bewijs is verder vergelijkbaar.

Er zijn voor de afgeleide functie van meerdere notaties:
, of , of , of , of .

verder | terug