Afgeleide functies > Transformaties en afgeleidenAntwoorden van de opgaven
Zie de uitwerking.
`f_1(x) = x^3 - 4x + 2`
`f_1'(x) = 3x^2 - 4 = f'(x)`
`f_2(x) = 2(x^3 - 4x) = 2x^3 - 8x`
`f_2'(x) = 6x^2 - 8 = 2(3x^2 - 4) = 2f'(x)`
`f_3(x) = (x+2)^3 - 4(x+2) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - 4x - 8 = x^3 + 6x^2 + 8x`
`f_3'(x) = 3x^2 + 12x + 8`
`f'(x+2) = 3(x+2)^2 - 4 = 3(x^2 + 4x + 4) - 4 = 3x^2 + 12x + 8 = f_3'(x)`
`f_4(x) = (2x)^3 - 4(2x) = 8x^3 - 8x`
`f_4'(x) = 24x^2 - 8 = 2(12x^2 - 4) = 2(3(2x)^2 - 4) = 2f'(2x)`
Maak de grafieken van
`f`
en
`g_1 (x) = f(x) + 3`
met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft
`g_1`
?
`g_1 '(x) = f'(x)`
`g_1 '(x) = f'(x) + 3`
Maak de grafieken van
`f`
en
`g_2 (x) = 3 * f(x)`
met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft
`g_2`
?
`g_2 '(x) = f'(x)`
`g_2 '(x) = 3 * (f'(x))`
Maak de grafieken van
`f`
en
`g_3 (x) = f(x+3 )`
met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft
`g_3`
?
`g_3 '(x) = f'(x)`
`g_3 '(x) = f'(x+3 )`
Maak de grafieken van
`f`
en
`g_4 (x) = f(3 * x)`
met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft
`g_4`
?
`g_4 '(x) = f'(3 * x)`
`g_4 '(x) = 3 *(f'(3 * x))`
`g'(x) = 4*(x-7)^3 = 4(x-7)^3`
`h'(x) = 3*4(3x)^3 = 324x^3`
`j'(x) = 2 * 4 * 3(2x)^3 = 192x^3`
`k'(x) = text(-)2 * 4 * 2(6 - 2x)^3 = text(-)16(6 - 2x)^3`
Eerst vermenigvuldigen met `5` ten opzichte van de `x` -as en dan transleren ten opzichte van de `y` -as met `1` en ten opzichte van de `x` -as met `4` .
`f'(x) = 5*3(x-1)^2 = 5*g'(x-1)`
Hieruit volgt:
`f'(2) = 5 * g'(1) = 5 *3 = 15`
.
`f(x) = 8^x = 2^(3x) = g(3x)`
`f(x) = g(3x)` dus geldt `f'(x) = 3 *g'(3x)` .
Invullen van
`x = 0`
in
`f(x)`
en
`f'(x)`
geeft:
`f(0) = 1`
en
`f'(0) = 3 * g'(0) ≈ 3 * 0,69 = 2,07`
.
De gevraagde raaklijn is `y = 2,07x + 1` .
De basisfunctie is `y = x^4` met `(text(d)y)/(text(d)x) = 4x^3` .
`f'(x) = 2 * 6 * 4 (2x + 3)^3 = 48(2x + 3)^3`
De basisfunctie is `y = x^5` met `(text(d)y)/(text(d)x) = 5x^4` .
`g'(x) = 5(x+2)^4`
De basisfunctie is `s = t^3` met `(text(d)s)/(text(d)t) = 3t^2` .
`s'(t) = 2 * 3(2t + 4)^2 = 6(2t + 4)^2`
De basisfunctie is `h = t^4` met `(text(d)h)/(text(d)t) = 4t^3` .
`h'(t) = text(-)3 * text(-)2 * 4(6 - 3t)^3 = 24(6 - 3t)^3`
`g'(x) = f'(x) ≈ 0,69*2^x`
`h'(x) ≈ 3*0,69*2^x = 2,07*2^x`
`j'(x) = f'(x+4) ~~ 0,69*2^(x+4)`
`k'(x) ≈ text(-)3*0,69*2^(text(-)3x) = text(-)2,07*2^(text(-)3x)`
Het punt `(2 ,4 )` .
`f'(x) = 1,5(x-2)^2` en de grafiek van `f'` is een dalparabool met symmetrieas `x = 2` en de helling van `f` gaat daarom bij `x = 2` van positief over in `0` en dan weer in positief. Ook de hellingwaarden zijn links en rechts van `x = 2` gelijk.
Het nulpunt is
`(0, 0)`
en
`f'(0) = 1,5 * (text(-)2)^2 = 6`
.
De gevraagde raaklijn is daarom
`y = 6x`
.
Vermenigvuldig de grafiek van de `g` ten opzichte van de `y` -as met `text(-)1` en pas daarna een translatie toe van `4` ten opzichte van de `x` -as.
`f'(x) = text(-)1 * g'(text(-)x)`
`f'(text(-)1) ≈ text(-)1,38` en `f(text(-)1) = 6` .
Voor de raaklijn door het punt `(text(-)1, 6)` aan de grafiek van `f` geldt `y = text(-)1,38x + b` .
Dus: `text(-)1,38*text(-)1 + b = 6` en `b = 4,62` . Hieruit volgt `y = text(-)1,38x + 4,62` .
De gevraagde raaklijn is `y = text(-)1,38x + 4,62` .
`f(x) = g(text(-)x)+4`
`f'(x) = text(-)1*g'(text(-)x)`
Om `f'(1)` te vinden heb je `g'(text(-)1)` nodig.
`g'(x) = 3 * f'(3x - 2)`
`g'(1) = 3 * f'(3*1 - 2) = 3 * f'(1) = 3*2,75 = 8,25`
`f'(x) = 3x^2 - 4` en `f'(1) = text(-)1` .
`f(1,003) ≈ f(1) + 0,003 * f'(1) = text(-)3 + 0,003 * text(-)1 = text(-)3,003`
`f(0,98) ≈ f(1) - 0,02 * f'(1) = text(-)3 - 0,02*text(-)1 = text(-)2,98`
`f(2,003) = f(2) + 0,003*f'(2) = 0 + 0,003*text(-)8 = text(-)0,024` .
Dan wordt het verschil met de werkelijke functiewaarde waarschijnlijk veel te groot.
`f'(x) = 15(3x + 6)^4`
`g'(x) = text(-)8(x - 1)^3`
`K'(q) = 9(60 + 3q)^2`
Eerst vermenigvuldigen met `text(-)1` in de `x` -richting en dan de grafiek `5` eenheden in de positieve `y` -richting verschuiven.
`y = text(-)1,1x + 6` .