Gegeven is de familie van functies
`f_a(x) = x^3 + ax`
.
Voor elke waarde van
`a`
heb je met een andere functie te maken.
Je kunt een aantal grafieken van deze familie van functies zien door `a` te variëren.
Sommige functies
`f_a`
hebben extremen, andere niet.
Onderzoek welk soort extremen er zijn bij de waarden van
`a`
.
`f_a'(x) = 3x^2 + a`
`3x^2 + a = 0`
geeft
`x = sqrt(text(-)a/3) vv x = text(-)sqrt(text(-)a/3)`
Dit geeft de volgende mogelijkheden:
`a gt 0`
:
Vanwege de wortels zijn er dan geen oplossingen voor
`x`
.
Dus heeft
`f_a`
geen extremen.
`a = 0`
:
Dit geeft
`f_0 '(x) = 3x^2`
.
`f_0'(x)`
is dan altijd positief of
`0`
.
Dus heeft
`f_a`
geen extremen.
`a lt 0`
:
Nu is de grafiek van de afgeleide een dalparabool met twee nulpunten.
Dus
`f_a`
heeft twee extremen: een maximum (voor
`x = text(-)sqrt(text(-)a/3)`
) en een minimum (voor
`x = sqrt(text(-)a/3)`
).
Gegeven is de functie `f_a(x) = ax^3 - x` met `a gt 0` .
Neem `a = 1` en bereken de extremen van `f_1` .
Bereken de `x` -coördinaten van de extremen van `f_a` , voor alle waarden van `a` .
Bereken de `y` -coördinaten van de extremen van `f_a` .
Voor welke waarde van `a` is de maximale waarde van `f` gelijk aan `1` ?