Afgeleide functies > Extremen berekenen
1234567Extremen berekenen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

In toppen is de helling van de grafiek meestal , dus daar is de afgeleide .

geeft .
geeft .

Bekijk beide grafieken op de GR.

heeft weliswaar een horizontale raaklijn in maar daar zit geen top.

heeft een maximum bij en een minimum bij .

Opgave 1
a

geeft en dus .

Uit de grafiek blijkt dat er geen extreme waarde is bij . Bij een tekenschema van de afgeleide vindt er geen tekenwisseling plaats. heeft geen extreme waarde.

b

geeft en .

Uit de grafiek of het tekenschema blijkt dat er een maximum is bij en een minimum bij . Dit geeft: max. en min..

c

geeft en dus .

Uit de grafiek of het tekenschema blijkt dat er een minimum is bij en een maximum bij . Bij vindt er geen tekenwisseling plaats, daar is geen extreme waarde.

Dit geeft min. en max. .

Opgave 2
a

b

als en dus .

c

Max. en min..

Opgave 3
a

als .

b

Deze functie heeft voor een horizontale raaklijn. Heeft de functie ook een extreme waarde voor ?

c

Alleen de functie heeft er de waarde en is onbekend. Er is geen extreme waarde.

Opgave 4
a

geeft en , dus de snijpunten zijn en .

b

geeft en .
Tekenschema van of grafiek van bekijken geeft min., max. en min. .

c

geeft: .

Opgave 5
a

De afgeleide van is: .

geeft .

Grafiek van of tekenschema van :
max. en min..

b

De afgeleide van is: .

heeft een maximum voor en een minimum voor .

c

max.
min.

d

geeft en .

Opgave 6
a

De coördinaten van zijn , en die van zijn .

Omdat voor groter is dan geldt voor de lengte van lijnstuk :

De afgeleide is: .

als .

De bijbehorende maximale lengte is .

b

De coördinaten van de punten zijn en .

De oppervlakte is gelijk aan .

De afgeleide van is: .

als .

De waarde vervalt, omdat . De grafiek van is een bergparabool, waarbij vanaf links gezien het tweede snijpunt met de -as is. Er is sprake van een maximum voor deze waarde.

Opgave 7

De afgeleide is: .
geeft .

Min., max. en min. .

Opgave 8
a

De nulpunten van zijn .
De nulpunten van zijn en .

b

Voor is differentiëren niet nodig: de grafiek is een bergparabool met max..
Voor geldt: als .
De extremen van zijn: max. en min..

c

Opgave 9
a

De afgeleide is: .

als .

Als is, dan bestaan de laatste twee oplossingen niet en heeft de grafiek van , net als voor maar één minimum voor .

Als dan is er bij twee verschillende punten een minimum. Bekijk de grafieken.

Er geldt nu: min..

Dit geeft .

b

De afgeleide is:

De raaklijn van de grafiek is van de vorm .
, dus het punt ligt op de grafiek.
Raaklijn is .

Deze lijn gat door als en dus .

Opgave 10
a

euro per kg, wat neerkomt op €  per kg

b

Maak een tabel van met de grafische rekenmachine en vergelijk de waarden met de gegeven tabel.

c
d


Dit getal betekent dat bij een productie van kg de winst met € 95,00 euro toeneemt per kg meer productie.

e

De winst is maximaal als dus als .

Dit geeft . Bovendien is .

Uit de schets van of het tekenschema van blijkt dat er een maximum is bij .
De maximale winst is .

Opgave 11
a

De coördinaten van zijn .
De coördinaten van zijn .

Omdat voor groter is dan geldt voor de lengte van lijnstuk : .

geeft en (voldoet niet).

De maximale lengte is . De maximale lengte is .

b

De coördinaten van zijn .
De coördinaten van zijn .

Omdat voor kleiner is dan geldt voor de lengte van lijnstuk : .

geeft (vervalt) en .

Maximum .

c

Bedenk dat voor en dat . De waarde van die verviel omdat die waarde buiten het domein van lag en in een minimum zou opleveren, is de gezochte waarde van .

Opgave 12
a

geeft .

De grafiek hiervan is voor elke een dalparabool.
Voor is de -coördinaat van het linker snijpunt van de dalparabool met de -as. Dit betekent dat een maximum heeft voor .

Voor is de -coördinaat van het linker snijpunt van de dalparabool met de -as. Dit betekent dat een maximum heeft voor .

Voor raakt de dalparabool de -as.

Er vindt dus geen tekenwisseling plaats. heeft geen extremen.
Voor heeft geen extremen. Voor heeft een maximum in

b

geeft en .

Dit is een minimum.

Opgave 13
a

Zie de antwoorden in het vervolg van deze opgave.

b

Voor de lengte van de sintelbaan: .

Voor de oppervlakte van het sportveld:  

c

Gegeven is , dus .

Nu maak je een functie voor , waarin alleen als variabele voorkomt.

substitueren in geeft .

d

De grafiek van is een bergparabool. Het maximum zit bij het punt waarvoor geldt . Voor die afgeleide functie geldt en , dus m.

Dus voor de lengte van het sportveld geldt:  m

Voor de breedte geldt: m.

Opgave 14
a

Zie de antwoorden in het vervolg van deze opgave.

b

Noem de inhoud en oppervlakte van het karton respectievelijk en . Dan is:


c

cm2

Dus , zodat .

d

.

e

De afgeleide is: .

En geeft .

Uit de schets van blijkt dat een maximum heeft bij cm. De waarde vervalt, want .

f

cm.

De afmetingen zijn ongeveer bij bij cm.

Opgave 15

Noem de breedte en de lengte . De lengte van de omheining is:

Dit kun je herleiden naar .

De oppervlakte is .
Differentiëren geeft .

als .

De maximale oppervlakte is m2.

Opgave 16
a

Voor de breedte en de lengte van het bakje geldt dan .

Dus voor de inhoud kun je de volgende formule opstellen: .

b

De zijde van het ingeknipte vierkantje kan niet negatief zijn en kan ook niet groter zijn dan cm, want dan zou het karton volledig doorgeknipt worden. Dus: cm.

c

geeft .

max. cm3

Uit de schets van blijkt dat daar inderdaad een maximum heeft.

Opgave 17
a

max. .

b

max. en min. .

Opgave 18
a

als .
max. en min..

b

Bijvoorbeeld .

c

Opgave 19

verder | terug