Afgeleide functies > Extremen berekenenVoorbeeld 2
Gegeven is de familie van functies
`f_a(x) = x^3 + ax`
.
Voor elke waarde van
`a`
heb je met een andere functie te maken.
Je kunt een aantal grafieken van deze familie van functies zien door `a` te variëren.
Sommige functies
`f_a`
hebben extremen, andere niet.
Onderzoek welk soort extremen er zijn bij de waarden van
`a`
.
`f_a'(x) = 3x^2 + a`
`3x^2 + a = 0`
geeft
`x = sqrt(text(-)a/3) vv x = text(-)sqrt(text(-)a/3)`
Dit geeft de volgende mogelijkheden:
-
`a gt 0` :
Vanwege de wortels zijn er dan geen oplossingen voor `x` .
Dus heeft `f_a` geen extremen. -
`a = 0` :
Dit geeft `f_0 '(x) = 3x^2` . `f_0'(x)` is dan altijd positief of `0` .
Dus heeft `f_a` geen extremen. -
`a lt 0` :
Nu is de grafiek van de afgeleide een dalparabool met twee nulpunten.
Dus `f_a` heeft twee extremen: een maximum (voor `x = text(-)sqrt(text(-)a/3)` ) en een minimum (voor `x = sqrt(text(-)a/3)` ).
Gegeven is de functie `f_a(x) = ax^3 - x` met `a gt 0` .
Neem `a = 1` en bereken de extremen van `f_1` .
Bereken de `x` -coördinaten van de extremen van `f_a` , voor alle waarden van `a` .
Bereken de `y` -coördinaten van de extremen van `f_a` .
Voor welke waarde van `a` is de maximale waarde van `f` gelijk aan `1` ?