Afgeleide functies > Extremen berekenenVoorbeeld 3
Bekijk de grafieken van
`f(x) = x^2`
en
`g(x) = x^3`
.
De lijn
`x = p`
met
`0 lt p lt 1`
snijdt de grafiek van
`f`
in punt
`B`
en die van
`g`
in
`A`
.
Bereken exact de waarde van `p` waarvoor de lengte van lijnstuk `AB` maximaal is.
Voor beide punten
`A`
en
`B`
geldt
`x = p`
. Dat geeft coördinaten
`A(p, p^3)`
en
`B(p, p^2)`
.
Omdat
`f(p) gt g(p)`
geldt voor de lengte
`L`
van lijnstuk
`AB`
:
`L(p) = f(p) - g(p) = p^2 - p^3`
Stel de afgeleide van
`L(p)`
gelijk aan
`0`
en los de vergelijking op:
De afgeleide is:
`L'(p) = 2p-3p^2`
.
| `2p - 3p^2` | `=` | `0` | |
| `p` | `=` | `0 vv p = 2/3` |
Met behulp van de grafiek of een tekenschema zie je dat de maximale lengte van `AB` gelijk is aan `L(2/3) = 4/27` .
Gegeven zijn de functies `f(x) = 4 - x^2` en `g(x) = 4 - x` .
De lijn `x = k` met `0 < k < 1` snijdt de grafiek van `f` in `P` en die van `g` in `Q` .
Bereken de grootste lengte van lijnstuk `PQ` .
De lijnen `x = text(-)p` en `x = p` met `p gt 0` snijden de grafiek van `f` in `A` en in `B` . Bovendien snijden ze de `x` -as respectievelijk in `D` en in `C` .
Bereken exact de maximale oppervlakte van vierhoek `ABCD` .