`f'(x) = 3x^2 - 6x + 3`

`f'(x) = 0` geeft `3x^2 - 6x + 3 = 0` en dus `x = 1` .

Uit de grafiek blijkt dat er geen extreme waarde is bij `x = 1` . Bij een tekenschema van de afgeleide vindt er geen tekenwisseling plaats. `f` heeft geen extreme waarde.

`g'(x) = 3x^2 - 12x`

`g'(x) = 0` geeft `3x^2 - 12x = 0` en `x = 0 vv x = 4` .

Uit de grafiek of het tekenschema blijkt dat er een maximum is bij `x = 0` en een minimum bij `x = 4` . Dit geeft: max. `g(0) = 12` en min. `g(4) = text(-)20` .

`h'(x) = text(-)5x^4 + 5x^3 + 10x^2`

`h'(x) = 0` geeft `text(-)5x^4 + 5x^3 + 10x^2 = text(-)5x^2(x^2 - x - 2) = 0` en dus `x = 0 vv x = 2 vv x = text(-)1` .

Uit de grafiek of het tekenschema blijkt dat er een minimum is bij `x = text(-)1` en een maximum bij `x = 2` . Bij `x = 0` vindt er geen tekenwisseling plaats, daar is geen extreme waarde.

Dit geeft min. `h(text(-)1) = text(-)7 1/12` en max. `h(2) = 8 2/3` .

`f'(x) = 0,3x^2 - 120`

`f'(x) = 0,3x^2 - 120 = 0` als `x^2 = 400` en dus `x = ±20` .

Max. `f(text(-)20) = 2320` en min. `f(20) = text(-)2320` .

`f'(x) = 3x^2 = 0` als `x = 0` .

Alleen de functie heeft er de waarde `0` en `f'(0)` is onbekend. Er is geen extreme waarde.

`100 x^2 = x^2 (x-10)^2` geeft `x^2 = 0 vv 100 = (x-10)^2` en `x = 0 ∨ x = 20` , dus de snijpunten zijn `(0 , 0 )` en `(20 , 40000 )` .

`g'(x) = 4x^3 - 60x^2 + 200x = 0` geeft `4x(x^2 - 15x + 50) = 0` en `x = 0 ∨x = 5 ∨x = 10` .
Tekenschema van `g'` of grafiek van `g` bekijken geeft min. `f(0) = 0` , max. `f(5) = 625` en min. `f(10) = 0` .

`a*5^2 = 5^2 (5 - 10)^2` geeft: `a = 25` .

De afgeleide van `f_1(x)` is: `f'_1(x) = 3x^2 - 1` .

`3x^2 - 1 = 0` geeft `x = +-sqrt(1/3)` .

Grafiek van `f_1` of tekenschema van `f'_1` :
Max. `f_1(text(-)sqrt(1/3)) = 2/3 sqrt(1/3)` en min. `f_1(sqrt(1/3)) = text(-)2/3 sqrt(1/3)` .

De afgeleide van `f_a(x)` is: `f_a'(x) = 3ax^2 - 1` .

`f_a` heeft een maximum voor `x = text(-)sqrt(1/(3a))` en een minimum voor `x = sqrt(1/(3a))` .

max. `f_a(text(-)sqrt(1/(3a))) = 2/3 sqrt(1/(3a))`
min. `f_a(sqrt(1/(3a))) = text(-)2/3 sqrt(1/(3a))`

`2/3 sqrt(1/(3a)) = 1` geeft `1/(3a) = 9/4` en `a = 4/27` .

De coördinaten van `P` zijn `(k, 4 - k^2)` , en die van `Q` zijn `(k, 4 - k)` .

Omdat `f(k)` voor `0 < k < 1` groter is dan `g(k)` geldt voor de lengte `L` van lijnstuk `PQ` :

`L(k) = f(k) - g(k) = 4 - k^2 - (4 - k) = text(-)k^2 + k`

De afgeleide is: `L'(k) = text(-)2k + 1` .

`text(-)2k + 1 = 0` als `k = 0,5` .

De bijbehorende maximale lengte is `L(0,5) = 0,25` .

De coördinaten van de punten zijn `A(text(-)p, 4 - p^2), B(p, 4 - p^2), C(p, 0)` en `D(text(-)p, 0)` .

De oppervlakte `O` is gelijk aan `O = AB * AD = 2p(4 - p^2) = 8p - 2p^3` .

De afgeleide van `O` is: `O' = 8 - 6 p^2` .

`8 - 6p^2 = 0` als `p = +-sqrt(4/3) = +-2/(sqrt(3))` .

De waarde `p = text(-)2/sqrt(3)` vervalt, omdat `p gt 0` . De grafiek van `O'` is een bergparabool, waarbij `p = 2/3sqrt(3)` vanaf links gezien het tweede snijpunt met de `x` -as is. Er is sprake van een maximum voor deze waarde.

`O(2/sqrt(3)) = 8*2/sqrt(3) - 2(2/sqrt(3))^3 = 16/sqrt(3) - 16/(3sqrt(3)) = 32/(3sqrt(3))`

De nulpunten van `f` zijn `(±20, 0)` .
De nulpunten van `g` zijn `(±20, 0)` en `(10, 0)` .

Voor `f` is differentiëren niet nodig: de grafiek is een bergparabool met max. `f(0) = 4000` .
Voor `g` geldt: `g'(x) = 3x^2 - 20x - 400 = 0` als `x = (20 ±sqrt(5200))/6` .
De extremen van `g` zijn: max. `g(text(-)8,69) ≈ 6064,60` en min. `g(15,35) ≈ text(-)879,42` .

`x ≤ text(-)20 ∨ 0 ≤ x ≤ 20`

De afgeleide is: `f_a'(x) = 4x^3 - 2ax` .

`4x^3 - 2ax = 2x(2x^2 - a) = 0` als `x = 0 vv x = ±sqrt(a/2)` .

Als `a lt 0` is, dan bestaan de laatste twee oplossingen niet en heeft de grafiek van `f_a` , net als voor `a = 0` maar één minimum voor `x = 0` .

Als `a gt 0` dan is er bij twee verschillende punten een minimum. Bekijk de grafieken.

Er geldt nu: min. `f_a(text(-)1/2 sqrt(2a)) = f_a(1/2 sqrt(2a)) = text(-)1/4 a^2 = text(-)1` .

Dit geeft `a = 2` .

De afgeleide is: `f'(1) = 4 - 2a` .

De raaklijn van de grafiek is van de vorm `y = (4-2a)x + b` .
`f(1) = 1 - a` , dus het punt `(1, 1-a)` ligt op de grafiek.
Raaklijn is `y = (4-2a)x + a-3` .

Deze lijn gaat door `(0, 4)` als `a-3 = 4` en dus `a = 7` .

`(400 - 200)/(5 - 4) = 200` euro per `100` kg, wat neerkomt op € 2,00 per kg

Maak een tabel van `TK(q)` met de grafische rekenmachine en vergelijk de waarden met de gegeven tabel.

`W`	`=`	`225q - TK`
``	`=`	`225q - (10q^3 - 60q^2 + 130q)`
``	`=`	`text(-)10q^3 + 60q^2 + 95q`

`MW(q) = W'(q) = text(-)30q^2 + 120q + 95`
`MW(4) = 95`

Dit getal betekent dat bij een productie van `400` kg de winst met € 95,00 euro toeneemt per `100` kg meer productie.

De winst is maximaal als `MW = 0` dus als `text(-)30q^2 + 120q + 95 = 0` .

Dit geeft `q = (text(-)120 ±sqrt(25800)) /(text(-)60)` . Bovendien is `q gt 0` .

Uit de schets van `W` of het tekenschema van `MW` blijkt dat er een maximum is bij `q ≈ 4,68` .
De maximale winst is `W(4,68) ≈ 733,71` .

De coördinaten van `P` zijn `(p, 1/2 p^3 - 2p)` .
De coördinaten van `Q` zijn `(p, 1 1/2 p + 3)` .

Omdat `f(p)` voor `text(-)2 < p < text(-)1` groter is dan `l(p)` geldt voor de lengte `L` van lijnstuk `PQ` : `L(p) = 1/2 p^3 - 2p - (1 1/2 p + 3) = 1/2 p^3 - 3 1/2 p - 3` .

`L'(p) = 1 1/2 p^2 - 3 1/2 = 0` geeft `p = text(-)1/3 sqrt(21)` en `p = 1/3 sqrt(21)` (voldoet niet).

De maximale lengte is `L(text(-)1/3 sqrt(21)) = 7/9 sqrt(21) - 3` .

De coördinaten van `S` zijn `(t, 1/2 t^3 - 2t)` .
De coördinaten van `T` zijn `(t, 1 1/2 t + 3)` .

Omdat `f(t)` voor `text(-)1 < p < 3` kleiner is dan `l(t)` geldt voor de lengte `K` van lijnstuk `PQ` : `K(t) = 1 1/2 t + 3 - (1/2 t^3 - 2t) = text(-)1/2 t^3 + 3 1/2 t + 3` .

`K'(t) = text(-)1 1/2 t^2 + 3 1/2 = 0` geeft `t = text(-)1/3 sqrt(21)` (vervalt) en `t = 1/3 sqrt(21)` .

Maximum `K(1/3 sqrt(21)) = 7/9 sqrt(21) + 3` .

Bedenk dat `x=p=k` voor `text(-)2 < x < 3` en dat `L(x) = text(-)K(x)` . De waarde van `p` die verviel omdat die waarde buiten het domein van `p` lag en in `L` een minimum zou opleveren, is de gezochte waarde van `K` .

`f'(x) = 3x^2 - 12px = 0` geeft `x = 0 ∨ x = 4p` .

De grafiek hiervan is voor elke `p` een dalparabool.
Voor `p lt 0` is `x = 4p` de `x` -coördinaat van het linker snijpunt van de dalparabool met de `x` -as. Dit betekent dat `f` een maximum heeft voor `x = 4p` .

Voor `p gt 0` is `x = 0` de `x` -coördinaat van het linker snijpunt van de dalparabool met de `x` -as. Dit betekent dat `f` een maximum heeft voor `x = 0` .

Voor `p = 0` raakt de dalparabool de `x` -as. Er vindt dan geen tekenwisseling plaats en `f` heeft geen extremen.

`f(0) = text(-)16 ≠ text(-)32`

`f(4p) = 64p^3 - 96p^3 - 16 = text(-)32` geeft `p^3 = 1/2` en `p = root[3](1/2)` .

Dit is een minimum.

Zie de antwoorden in het vervolg van deze opgave.

Voor de lengte van de sintelbaan: `2l + 2πr = 400` .

Voor de oppervlakte `A` van het sportveld: `A = l*2r`

Gegeven is `L = 400 = 2l + 2πr` , dus  `l = 200 - πr` .

Nu maak je een functie voor `A` , waarin alleen `r` als variabele voorkomt.

`l` substitueren in `A` geeft `A = (200 - πr)*2r = 400r - 2πr^2` .

De grafiek van `A(r)` is een bergparabool. Het maximum zit bij het punt waarvoor geldt `A'(r) = 0` . Voor die afgeleide functie geldt `A'(r) = 400 - 4pi r` en `400 - 4pi r = 0` , dus `r = 400/(4pi) = 100/(pi) ~~ 31,8` m.

Dus voor de lengte van het sportveld geldt: `l = 200 - pi r = 200 - pi*100/(pi) = 100` m

Voor de breedte geldt: `b = 2r = 2*100/(pi) = 200/(pi) ~~ 63,6` m.

Zie de antwoorden in het vervolg van deze opgave.

Noem de inhoud en oppervlakte van het karton respectievelijk `I` en `A` . Dan is:

`I = x^2*h`
`A = 2x^2 + 4xh`

`2*8^2 + 4*8*21 = 800` cm².

Dus `A = 2x^2 + 4xh = 800` , zodat `h = (800 - 2x^2)/(4x)` .

`I = x^2*h = x^2 * (800 - 2x^2)/(4x) = 200x - 1/2 x^3` .

De afgeleide is: `I'(x) = 200 - 1 1/2 x^2` .

En `I'(x) = 0` geeft `x = +-sqrt(133 1/3)` .

Uit de schets van `I` blijkt dat `x` een maximum heeft bij `x = sqrt(133 1/3) ~~ 11,547` cm. De waarde `x = text(-)sqrt(133 1/3)` vervalt, want `x gt 0` .

`h ≈ (800-2*11,547^2)/(4*11,547) ≈ 11,547` cm.

De afmetingen zijn ongeveer `11,5` bij `11,5` bij `11,5` cm.

Voor de breedte en de lengte van het bakje geldt dan `b=l=20-2x` .

Dus voor de inhoud kun je de volgende formule opstellen: `I(x) = l*b*h = (20 - 2x)^2 x = x(400 - 80x + 4x^2) = 4x^3 - 80x^2 + 400x` .

De zijde van het ingeknipte vierkantje kan niet negatief zijn en kan ook niet groter zijn dan `10` cm, want dan zou het karton volledig doorgeknipt worden. Dus: `0 lt x lt 10` cm.

`I'(x) = 12x^2 - 160x + 400 = 0` geeft `x = 10/3 ∨ x = 10` .

Max. `I(10/3) = 16000/27≈593` cm³.

Uit de schets van `I` blijkt dat `x` daar inderdaad een maximum heeft.

max. `f(1,5) = 1,6875` .

max. `f(0) = 0` en min. `f(4) = text(-)32` .

`f'(x) = 20x^4 - 160000x = 0` als `x = 0 ∨ x = 20` .
max. `f(0) = 2557` en min. `f(20) = text(-)19197443` .

Bijvoorbeeld `[text(-)10, 30] xx [text(-)20000000, 5000]` .

`2`