Afgeleide functies > Buigpunten
1234567Buigpunten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De snelheid is de verandering van de afgelegde afstand dus de helling van de grafiek. De grafiek wordt eerst minder steil (snelheid neemt af) en dan weer steiler (snelheid neemt toe).

b

c

Door de functie die de snelheid aangeeft nog eens te differentiëren.

d

geeft .

Opgave 1
a

, dit is de -coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de -as.

, dit is de veranderingssnelheid van de grafiek voor .

, dit is de snelheid waarmee de veranderingssnelheid van de grafiek voor verandert. Die veranderingssnelheid neem dus af als .

b

De hellingsgrafiek heeft een minimum. De grafiek gaat daar van afnemend stijgend naar toenemend stijgend. De helling van de grafiek is daar het minst positief.

c

geeft en .
Buigpunt .

d


De richtingscoëfficiënt is daar niet .

Opgave 2
a

Voer in: , en .

b

De hellingsgrafiek heeft een maximale waarde. De grafiek gaat daar van afnemend dalend naar toenemend dalend. De helling van de grafiek is daar het minst negatief.

c

Bereken de tweede afgeleide:

Voor het buigpunt geldt: geeft .

Dus het buigpunt is .

d

Opgave 3
a

Bij het linker buigpunt gaat de grafiek van over van toenemend dalend in afnemend dalend. De helling bij dat buigpunt is daar minimaal.

Bij het middelste buigpunt gaat de grafiek van over van afnemend dalend in toenemend dalend. De helling bij dat buigpunt is daar maximaal en gelijk aan .

Bij het rechter buigpunt gaat de grafiek van over van toenemend dalend in afnemend dalend. De helling bij dat buigpunt is daar weer minimaal.

b

geeft .

Bij heeft wel een horizontale raaklijn, maar geen extreme waarde.

max. en min.

c

geeft .

Bij heeft inderdaad een buigpunt (met een horizontale raaklijn).
De buigpunten zijn , en .

Opgave 4
a

Ja, namelijk bij

b

Bijvoorbeeld zoiets:

Opgave 5

De afgelegde afstand, snelheid en versnelling worden achtereenvolgens beschreven met de functies , en . Dit geeft:
m
m/s
m/s2.

Opgave 6
a

geeft ; het buigpunt is .

b

c

Opgave 7
a

Voor het buigpunt geldt: en dus .

Het buigpunt is .

b

Voor de buigpunten geldt: en dus .

De buigpunten zijn en .

c

Voor het buigpunt geldt: en dus .

Het enige buigpunt (zie grafiek of tekenschema) is .

Opgave 8
a

Voor de buigpunten geldt: en dus .

De buigpunten zijn en .

b

De helling in het linker buigpunt is .
De linker buigraaklijn heeft de vorm .
Je vindt door het buigpunt in te vullen.

Dat is tevens de -coördinaat van het snijpunt van deze buigraaklijn met de -as.

De helling in het rechter buigpunt is: .
De rechter buigraaklijn heeft de vorm .
Je vindt door het buigpunt in te vullen.

Het gevraagde snijpunt is .

Opgave 9



De grafiek van is bij punt aan het dalen.

De grafiek van is bij afnemend aan het dalen.

Opgave 10
a

Een functie heeft extremen waarden als de grafiek van de afgeleide de -as snijdt. Dus bij en .

b

Een functie heeft een buigpunt als de grafiek van de afgeleide een extreme waarde heeft Hier dus bij . De coördinaten van het buigpunt zijn daarom .

De richtingscoëfficiënt van het buigpunt kun je aflezen uit de grafiek van : .

De vergelijking van de buigraaklijn is daarom van de vorm . Met de coördinaten van het buigpunt vind je dan en dus .

Opgave 11
a

De grafiek op de GR laat zien dat ongeveer bij het buigpunt zit.

b

en .
En als .

c

Tussen en zit de grootste omzetstijging.
Die bedraagt .

Opgave 12


De richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn is .
Een vergelijking van de buigraaklijn heeft de vorm .
De buigraaklijn gaat door het buigpunt . Hieruit volgt .
De vergelijking van de buigraaklijn is:
De buigraaklijn snijdt de -as in en dit geeft . Hieruit volgt en

De lengte van is acht keer zo groot is als de lengte van .

bron: examen vwo wiskunde B in 2014, tweede tijdvak

Opgave 13Landing
Landing
a



In het punt heeft het vliegtuig een horizontale bewegingsrichting.

In is dit ook het geval.

b

invullen in geeft:

c



Op het interval neemt toe van tot .
Aan de eis is voldaan.

bron: examen vwo wiskunde B in 2008, eerste tijdvak

Opgave 14Kostenfuncties
Kostenfuncties

Voor geldt:

is een (productie)hoeveelheid en er geldt . Ook is gegeven dat .
Als en , moet gelden dat , vanwege de factor voor de positieve variabelen en .

naar: examen vwo wiskunde B in 2011, tweede tijdvak

Opgave 15
a

en

b

Buigpunt .

Opgave 16
a

De grafiek van heeft een minimum bij en een maximum voor . Het buigpunt is bij .

b

Opgave 17
a

b

c

2000 L/dag

verder | terug