Afgeleide functies > BuigpuntenToepassen
Bekijk een wiskundig model van de baan van een vliegtuig bij de landing.
Een vliegtuig vliegt op een hoogte van
`8`
km. Op een afstand van
`100`
km van het vliegveld (horizontaal gemeten) wordt het landingsproces ingezet.
De baan van het vliegtuig is in een assenstelsel getekend:
`x`
is de afstand (kilometer, horizontaal gemeten) vanaf het punt waar het landingsproces
wordt ingezet en
`y`
is de hoogte (kilometer).
Bekijk de figuur. De piloot begint het landingsproces in het punt
`(0, 8)`
en het vliegtuig komt in het punt
`(100, 0)`
op de grond.
De baan die het vliegtuig tijdens het landingsproces beschrijft, wordt in het assenstelsel bij benadering gegeven door: `y(x) = 8 - 2,4*10^(text(-)3)*x^2 + 1,6*10^(text(-)5)*x^3` .
Toon langs algebraïsche weg aan dat volgens deze formule het vliegtuig zowel in het punt `(0, 8)` als in het punt `(100, 0)` een horizontale bewegingsrichting heeft.
De snelheid in horizontale richting is tijdens het hele landingsproces
`500`
km/h.
Er geldt:
`x = 500t`
, waarbij
`t`
het aantal uren na het inzetten van de landing is en
`0 ≤ t ≤ 0,2`
.
Voor de hoogte
`y`
geldt:
`y(t) = 8 - 600t^2 + 2000t^3`
.
Toon dit aan.
Om veiligheidsredenen mag de absolute waarde van de verticale versnelling
`y ''(t )`
tijdens het landingsproces niet groter zijn dan
`1200`
km/h2.
Onderzoek of aan deze eis is voldaan.
(bron: examen vwo wiskunde B in 2008, eerste tijdvak)
In de economie worden de volgende kosten bij de productie van een hoeveelheid `q` van een bepaald product onderscheiden:
-
de totale kosten `T(q)` ;
-
de marginale kosten `M(q)` , die je benadert door `T'(q)` .
Gegeven is:
`M(q) = T'(q)`
.
In het algemeen geldt dat de totale kosten
`T(q)`
eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgend zijn. In de figuur is deze
situatie weergegeven.
Omdat derdegraadsfuncties
`T`
met
`T(q) = aq^3 + bq^2 + cq + d`
zich onder bepaalde voorwaarden voor
`a`
,
`b`
,
`c`
en
`d`
op deze manier gedragen, worden deze vaak gebruikt om de totale kosten te beschrijven.
Voor een bruikbare derdegraadsfunctie
`T`
moet gelden:
` a gt 0`
,
`c gt 0`
en
`d gt 0`
.
Een voorwaarde voor `b` vind je door te bedenken dat de marginale kosten `M(q) = T'(q)` eerst afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet er een productiehoeveelheid `q` zijn waarbij de marginale kosten `M(q)` minimaal zijn.
Toon aan dat hieruit volgt dat `b < 0` .
(naar: examen vwo wiskunde B in 2011, tweede tijdvak)