Afgeleide functies > Veeltermen
1234567Veeltermen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

b

Ja, dat kun je aan het functievoorschrift zien. Hoe, dat zie je verder in dit onderdeel.

Opgave 1
a

b

c

Het maximale aantal nulwaarden van een veelterm met hoogste exponent  is gelijk aan .

Opgave 2
a

geeft .

De nulpunten zijn daarmee : , , en .

b

Haakjes uitwerken geeft .

geeft .

 Uit de grafiek van  kun je zien dat 

min., max. en min..

c

geeft .
Buigpunten .

Opgave 3
a

 

b

Omdat een nulpunt oplevert van , kun je het functievoorschrift van ontbinden in .

Met een staartdeling vind je .

geeft .
Nulpunten: , en .

c

geeft .

Uit de grafiek van kun je zien dat  er een maximum is voor en een minimum voor  .

d

geeft .
Buigpunt: .

e

geeft met de GR: .
Uit de grafiek van en kun je vervolgens aflezen dat .

Opgave 4
a

geeft en dus .

Hieruit volgt .

b

geeft  Dus .

c

geeft .

Daaruit volgt en .

d

Met de GR vind je .

Er zijn geen andere nulpunten.

Opgave 5
a

geeft    en dus .

Voor heeft een minimum voor .

Voor heeft maar één punt waar de afgeleide gelijk is aan , namelijk voor

Met een tekenschema kun je aantonen dat er een tekenwisseling plaatsvindt bij

Voor geldt en .

Bij is er dus een minimum.

Voor geldt , ,   en .

Bij is er dan een maximum.

b

Er moet dan gelden .

Dus  en .

Uit de laatste vergelijking volgt en gesubstitueerd in de eerste vergelijking levert dat en dat geeft .

Hieruit volgt dan .

c

Er moet dan gelden

Dus    en .

Uit de laatste vergelijking volgt en gesubstitueerd in de eerste vergelijking levert dat en dat geeft .

Hieruit volgt dan .

d

 Er moet gelden

 dus . Hieruit volgt  .

Opgave 6
a

geeft .

Nulpunten: en .
geeft .

Toppen: en .

b

geeft en dus .

c

geeft en dus .

Uit de grafiek van en kun je vervolgens de oplossing aflezen:  .

Opgave 7
a


is geen veeltermfunctie omdat de (staart)deling niet op uit komt.

b

Verticale asymptoot: .
Omdat de hoogste macht van in de teller groter is dan de grootste macht van in de noemer is en .  Er is dus geen horizontale asymptoot.

c

Bekijk met behulp van de GR een grafiek van .

Met de GR vindt je:  max. en min..

Dus .

Opgave 8
a

Nulpunt .

b

Met een staartdeling vind je : .
Dus geeft .
De andere nulpunten zijn en .

c

geeft .

Uit de grafiek kun je devolgende extremen aflezen:

max. en min..

Toppen:   en .
geeft . Buigpunt .

d

geeft .

e

Opgave 9
a

geeft en dus .  Dus .

b

Met de GR kun je aflezen dat er een nulpunt is voor .

Controle bevestigt dat.

Met een staartdeling vind je en dus .

c

geeft .

d

Met de GR kun je aflezen dat er een nulpunt is voor .

Controle bevestigt dat.

Met een staartdeling vind je 

geeft .

Opgave 10
a

GR: Y1=X^4-2X^2-8 met venster .

Uit de grafiek kun je aflezen dat er drie toppen zijn en twee buigpunten.

geeft .
Toppen: , en .

geeft .
Buigpunten: en .

b

Als de -as raakt dan geldt er   en .

Dit geeft twee vergelijkingen en .

Uit de tweede vergelijking volgt .

Als je deze twee oplossingen in de eerste vergelijking substitueert dan krijg je weer twee vergelijkingen:

dus en

dus   en

Een grafiek van voor die waarden van bevestigt dat.

c

Als de -as raakt dan geldt er   en .

Dit geeft twee vergelijkingen en .

Uit de tweede vergelijking volgt .

Als je deze oplossing in de eerste vergelijking substitueert dan krijg je de vergelijking:

dus   en

Een grafiek van voor die waarde van bevestigt dat.

Opgave 11
a

Voor is  en is dus ook gelijk aan .  De grafiek van gaat door .

Voor is en is dus ook gelijk aan . De grafiek van gaat door punt  .
Voor is en is daarom gelijk aan en gaat de grafiek van dus door de punten en .

b

en .
geeft

Uit de grafiek van kun je aflezen dat er een maximum is en een minimum bij

max. en min..

c

Bij deelopgave heb je gezien dat de grafiek van bij punt , en door hetzelfde punt gaat als de grafiek van . Als de waarde van verandert, veranderen de coördinaten van de  punten , en  mee.

Punt krijgt dan de coördinaten . Alle punten liggen op de -as, dat is de lijn .

Punt krijgt de coördinaten, daarmee liggen alle punten op de lijn .

Punt krijgt uiteindelijk de coordinaten en daarmee liggen alle punten op de lijn

d

geeft .
De toppen zijn daarmee en . Deze punten liggen beide op .

Opgave 12
a

en .
geeft .

GR: er geldt  max. en min..

b

De grafiek van ontstaat uit die van na vermenigvuldiging met ten opzichte van de -as.

De -coordinaten van de toppen veranderen daardoor niet, de toppen zijn dan en .

geeft .

c

geeft , dus buigpunt .

d

, dus de buigraaklijn heeft een vergelijking van de vorm .

Deze lijn gaat door het buigpunt met Dit geeft en dus .
Deze lijn gaat ook door als , dus .

Opgave 13
a

Verticale asymptoten: noemer gelijk stellen aan geeft  .
Horizontale asymptoot: . Hieruit volgt .

b

Bepaal de extremen met de rekenmachine: min. en max..
Bereik: .

c

Lees uit de grafiek af: .

d

geeft en dus .
Je vindt , en .
is het langst.

Opgave 14Fietsenstalling
Fietsenstalling
a

Oppervlakte en dit wordt en  .

Inhoud .

Je krijgt dan .

b

GR: Y1=20X-X^3  met venster .

 .

c

 en daaruit volgt  .
is maximaal als .
De bijbehorende maximale waarde voor is ongeveer m3.
Dus .

Opgave 15
a

Nulpunten,   .

Min.,  max. en min..

b

De snijpunten van en zijn en .

voor 

c

Het zijn er drie.

Opgave 16

.

Opgave 17
a

Nulpunten en .

Min. en max..

Buigpunten en .

b

c

voor .

Opgave 18
a

b

Nulpunten en .

Toppen en .

Buigpunt .

c

d

Voor   .

verder | terug