`x = 0 ∨ x ≈ ±1,76 ∨ x ≈ ±1,58 ∨ x ≈ ±1,90`

`x ≈ ±0,55 ∨ x ≈ ±1,38 ∨ x ≈ ±1,78`

Het maximale aantal nulwaarden van een veelterm met hoogste exponent `n`  is gelijk aan `n` .

`(x^2 - 1)(x^2 - 2) = 0` geeft `x = text(-)1 ∨ x = 1 ∨ x = text(-)sqrt(2) ∨ x = sqrt(2)` .

De nulpunten zijn daarmee : `(text(-)1, 0)` , `(1 , 0 )` , `(text(-)sqrt(2 ), 0 )` en `(sqrt(2), 0)` .

Haakjes uitwerken geeft `f(x) = x^4 - 3x^2 + 2` .

`f'(x) = 4x^3 - 6x = 0` geeft `x = 0 ∨ x = text(-)sqrt(3/2) = text(-)1/2 sqrt(6) ∨ x = sqrt(3/2) = 1/2 sqrt(6)` .

Uit de grafiek van `f` kun je zien dat

min. `f(text(-)1/2 sqrt(6)) = text(-)1/4` , max. `f(0) = 2` en min. `f(1/2 sqrt(6)) = text(-)1/4` .

`f''(x) = 12x^2 - 6 = 0` geeft `x = +- sqrt((1/2)) = +- 1/2 sqrt((2 ))` .
Buigpunten `(± 1/2 sqrt(2), 3/4)` .

`f(1) = g(1) = 0`

Omdat `x = 1` een nulpunt oplevert van `f` , kun je het functievoorschrift van `f` ontbinden in `(x-1)(...)` .

Met een staartdeling vind je `f(x) = (x-1)(x^2 - 4x + 1)` .

`f(x) = (x-1)(x^2 - 4x + 1) = 0` geeft `x = 1 vv x = 2 - sqrt(3) vv x = 2 + sqrt(3)` .
Nulpunten: `(1, 0)` , `(2 - sqrt(3), 0)` en `(2 + sqrt(3), 0)` .

`f'(x) = 3x^2 - 10x + 5 = 0` geeft `x = (10 - sqrt(40))/6 = 1 2/3 - 1/3 sqrt(10) ∨  x = (10 + sqrt(40))/6 = 1 2/3 + 1/3 sqrt(10) ` .

Uit de grafiek van `f` kun je afleiden dat er een maximum is voor `x = 1 2/3 - 1/3 sqrt(10)` en een minimum voor `x = 1 2/3 + 1/3 sqrt(10)` .

`f''(x) = 6x - 10 = 0` geeft `x = 5/3 = 1 2/3 ~~ 1,67` .
Buigpunt: `(1,67; text(-)1,93)` .

`f(x) = g(x)` geeft met de GR: `x ≈ text(-)3,15 ∨ x = 1` .
In de grafiek van `f` en `g` kun je vervolgens aflezen dat `text(-)3 ,15 lt x ≤ 1` .

`x^3 - 4x^2 = 12x` geeft `x^3 - 4x^2 - 12x = 0` en `x(x^2 - 4x - 12) = 0` dus `x(x+2)(x-6) = 0` .

Hieruit volgt  `x = text(-)2 ∨ x = 0 ∨ x = 6` .

`text(-)0,1x^5 = 4x^2` geeft `x^2 = 0 ∨ text(-)0,1x^3 = 4`  Dus  `x = 0 ∨x = root[3](text(-)40 )` .

`(x-1)(x+1)(2x-5) = 5` geeft `2x^3 - 5x^2 - 2x + 5 = 5` .

Daaruit volgt `x(x^2 - 5x - 2) = 0` en `x = 0 ∨ x = 1 1/4 - 1/5 sqrt(41) ∨ x = 1 1/4 + 1/5 sqrt(41)` .

Met de GR vind je `x = 4` .

Er zijn geen andere nulpunten.

`f_c'(x) = 2x^3 - 2cx = 0` geeft `2x(x^2 - c) = 0` en dus `x = 0 ∨ x = text(-)sqrt(c) ∨ x = sqrt(c)` .

Voor `c = 0` heeft `f_0` een minimum voor `x = 0` .

Voor `c lt 0` heeft `f_c` maar één punt waar de afgeleide gelijk is aan `0` , namelijk voor `x = 0` .

Met een tekenschema kun je aantonen dat er een tekenwisseling plaatsvindt bij `x = 0` .

Voor `c lt 0` geldt `f'_c(text(-)1) = text(-)2 + 2c lt 0` en `f'_c(1) = 2 - 2c gt 0` .

Bij `x = 0` is er dus een minimum.

Voor `c gt 0` geldt `f'_c(text(-)2sqrt(c)) = text(-)1/2 csqrt(c) lt 0` , `f'_c(text(-)1/2 sqrt(c)) = 3/4csqrt(c) gt 0` , `f'_c(1/2 sqrt(c)) = text(-)3/4 c sqrt(c) lt 0` en `f'_c(2 sqrt(c)) = 12c sqrt(c) gt 0` .

Bij `x = 0` is er dan een maximum.

Er moet dan gelden `f(x) = 0 ∧ f'(0) = 0` .

Dus `1/2 x^4 - cx^2 + c = 0` en `2x^3 - 2cx = 0` .

Uit de laatste vergelijking volgt `c = x^2` en gesubstitueerd in de eerste vergelijking levert dat `text(-)1/2 x^4 + x^2 = 0` en dat geeft `x = 0 ∨ x = text(-)sqrt(2) ∨ x = sqrt(2)` .

Hieruit volgt dan `c = 0 ∨ c = 2` .

Er moet dan gelden `f(x) = 0 ∧ f''0) = 0` .

Dus `1/2 x^4 - cx^2 + c = 0` en `6x^2 - 2c = 0` .

Uit de laatste vergelijking volgt `c = 3x^2` en gesubstitueerd in de eerste vergelijking levert dat `text(-)2 1/2 x^4 + 3x^2 = 0` en dat geeft `x = 0 ∨ x = text(-)1/5 sqrt(30) ∨ x = 1/5 sqrt(30)` .

Hieruit volgt dan `c = 0 ∨ c = 3 3/5` .

Er moet gelden `f_c'(1 ) = 1` .

`f_c'(x) = 2x^3 - 2cx` dus `f_c'(1) = 2 - 2c` . Hieruit volgt `c = 1/2` .

`p(x) = x^2(2x - 8) = 0` geeft `x = 0 ∨ x = 4` .

Nulpunten: `(0 , 0 )` en `(4 , 0 )` .
`p'(x) = 6x^2 - 16x = 0` geeft `x = 0 ∨ x = 2 2/3` .

Toppen: `(0 , 0 )` en `(2 2/3, text(-)512/27)` .

`x^2(2x - 8) = 2x - 8` geeft `x^2 = 1 ∨ 2x - 8 = 0` en dus `x = text(-)1 ∨ x = 1 ∨ x = 4` .

`x^2(2x - 8) = text(-)2x^2` geeft `x^2 = 0 ∨ 2x - 8 = text(-)2` en dus `x = 0 ∨ x = 3` .

Uit de grafiek van `p` en `y = text(-)2x^2` kun je vervolgens de oplossing aflezen:   `x ≤ SS3` .

`text(D)_q = ⟨←, 4⟩ ∪ ⟨4, →⟩`
`q` is geen veeltermfunctie omdat de (staart)deling niet op `0` uit komt.

Verticale asymptoot: `x = 4` .
Omdat de hoogste macht van `x` in de teller groter is dan de grootste macht van `x` in de noemer is `lim_(x rarr oo) q(x) = oo` en `lim_(x rarr text(-)oo) q(x) = text(-)oo` .  Er is dus geen horizontale asymptoot.

Bekijk met behulp van de GR een grafiek van `q` .

Met de GR vindt je:  max. `q(0) = 0` en min. `q(8) = 8` .

Dus  `text(B)_q = ⟨←, 0] ∪ [8, →⟩` .

Nulpunt `(1 , 0)` .

Met een staartdeling vind je : `f(x) = x^3 + 9x^2 - 15x + 5 = (x - 1)(x^2 + 10x - 5)` .
Dus `f(x) = 0` geeft `x = 1 ∨ x = text(-)5-sqrt(30) ∨ x = text(-)5+sqrt(30)` .
De andere nulpunten zijn `(text(-)10,48 ; 0)` en `(0,48 ; 0)` .

`f'(x) = 3x^2 + 18x - 15 = 0` geeft `x = text(-)3-sqrt(14) ∨ x = text(-)3+sqrt(14)` .

Uit de grafiek kun je de volgende extremen aflezen:

max. `f(text(-)3-sqrt(14)) ≈ 208,77` en min. `f(text(-)3+sqrt(14)) ≈ text(-)0,77` .

Toppen: `(text(-)6,74 ; 208,77)` en `(0,74 ; text(-)0,77)` .
`f''(x) = 6x + 18 = 0` geeft `x = text(-)3` . Buigpunt `(text(-)3, f(text(-)3)) = (text(-)3, 104)` .

`f'(x)= 3x^2 + 18x - 15 = text(-)5` geeft `x = text(-)3 - 1/3 sqrt(111) ∨ x = text(-)3 + 1/3 sqrt(111)` .

`f'(0) = 15`

`x^3 - 2x^2 = 3x - 6` geeft `x^2(x - 2) = 3(x - 2)` en dus `x^2 = 3  ∨ x = 2` .  Dus `x = text(-)sqrt(3) ∨ x = sqrt(3)  ∨ x = 2` .

Met de GR kun je aflezen dat er een nulpunt is voor `x = text(-)8` .

Controle `f(text(-)8) = 0` bevestigt dat.

Met een staartdeling vind je `0,5x^4 + 4x^3 - 6x - 48 = (x + 8)(0,5x^3 - 6) = 0` en dus `x = text(-)8 ∨ x = root[3](12)` .

`x^6 - 16x^3 + 60 = (x^3 - 10)(x^3 - 6) = 0` geeft `x = root[3](6)  ∨  x = root[3](10)` .

Met de GR kun je aflezen dat er een nulpunt is voor `x = 1` .

Controle `f(1) = 0` bevestigt dat.

Met een staartdeling vind je 

`(x - 1)(x^2 - 2) = 0` geeft `x = text(-)sqrt(2)  ∨  x = 1 ∨  x = sqrt(2)` .

GR: Y1=X^4-2X^2-8 met venster `[text(-)2, 2] xx [0, 16]` .

Uit de grafiek kun je aflezen dat er drie toppen zijn en twee buigpunten.

`f_1 '(x) = 4x^3 - 4x = 0` geeft `x = text(-)1 ∨ x = 0 ∨ x = 1` .
Toppen: `(text(-)1 , 7)` , `(0, 8)` en `(1, 7)` .

`f_1''(x) = 12x^2 - 4 = 0` geeft `x = text(-)1/3 sqrt(3)  ∨  x = 1/3 sqrt(3)` .
Buigpunten: `(text(-)1/3 sqrt(3), 7 4/9)` en `(1/3 sqrt(3), 7 4/9)` .

Als `f_p` de `x` -as raakt dan geldt er   `f_p(x) = 0` en `f_p'(x) = 0` .

Dit geeft twee vergelijkingen `px^4 - 2x^2 + 8p = 0` en `4px^3 - 4x = 0` .

Uit de tweede vergelijking volgt `x = 0 ∨ x^2 = 1/p` .

Als je deze twee oplossingen in de eerste vergelijking substitueert dan krijg je weer twee vergelijkingen:

`8p = 0` dus `p = 0` en

`p*(1/p)^2 - 2*1/p + 8p = 0` dus   `p^2 = 1/8` en `p = text(-)1/4 sqrt(2)  ∨  p = 1/4 sqrt(2)` .

Een grafiek van `f` voor die waarden van `p` bevestigt dat.

Als `f_p` de `x` -as raakt dan geldt er   `f_p(x) = 0` en `f''_p(x) = 0` .

Dit geeft twee vergelijkingen `px^4 - 2x^2 + 8p = 0` en `12px^2 - 4 = 0` .

Uit de tweede vergelijking volgt ` x^2 = 1/(3p)` .

Als je deze oplossing in de eerste vergelijking substitueert dan krijg je de vergelijking:

`p*(1/(3p))^2 - 2*1/(3p) + 8p = 0` dus   `p^2 = 5/72` en `p = text(-)1/12 sqrt(10)  ∨  p = 1/12 sqrt(10)` .

Een grafiek van `f` voor die waarde van `p` bevestigt dat.

Voor `x = 0` is `f(x) = 0`  en is `h_4` dus ook gelijk aan `0` .  De grafiek van `h_4` gaat door `O` .

Voor `x = text(-)4` is `g_4(x) = 0` en is `h_4` dus ook gelijk aan `0` . De grafiek van `h_4` gaat door punt   `A` .
Voor `x = text(-)1 ∨ x = 1` is `f(x) = 1` en is `h_4` daarom gelijk aan `g_4` en gaat de grafiek van `h_4` dus door de punten `B` en `C` .

`h_4 (x) = x^3 + 4x^2` en `h_4 '(x) = 3x^2 + 8x` .
`h_4 '(x) = 0` geeft `x = 0 ∨ x = text(-)8/3 = text(-)2 2/3`

Uit de grafiek van `f` kun je aflezen dat er een maximum is `x = text(-)2 2/3` en een minimum bij `x = 0` :

max. `h_4 (text(-)2 2/3) = 9 13/27` en min. `h_4 (0) = 0` .

Bij a heb je gezien dat de grafiek van `h_4` bij punt `A` , `B` en `C` door hetzelfde punt gaat als de grafiek van `g_4` . Als de waarde van `a` verandert, veranderen de coördinaten van de  punten  `A` , `B` en `C`  mee.

Punt `A` krijgt dan de coördinaten `(text(-)a, 0)` . Alle punten `A` liggen op de `x` -as, dat is de lijn `y = 0` .

Punt `B` krijgt de coördinaten `(text(-)1, text(-)1+a)` , daarmee liggen alle punten `B` op de lijn `x = text(-)1` .

Punt `C` krijgt uiteindelijk de coördinaten `(1,1+a)` en daarmee liggen alle punten `C` op de lijn `x = 1` .

`h_a'(x) = 3x^2 + 2ax = 0` geeft `x = 0 ∨ x = text(-)2/3 a` .
De toppen zijn daarmee `(0, 0)` en `(text(-)2/3 a, 4/27 a^3)` . Deze punten liggen beide op `y = text(-)1/2 x^3` .

`f_1 (x) = x^3 + 12x^2 + 36 x` en `f_1 '(x) = 3x^2 + 24x + 36` .
`f_1 '(x) = 0` geeft `x = text(-)6 ∨ x = text(-)2` .

GR: er geldt max. `f(text(-)6 ) = 0` en min. `f(text(-)2 ) = text(-)32` .

De grafiek van `f_c(x)` ontstaat uit die van `f_1(x)` na vermenigvuldiging met `c` ten opzichte van de `x` -as.

De `x` -coördinaten van de toppen veranderen daardoor niet, de toppen zijn dan `(text(-)6, 0 )` en `(text(-)2, text(-)32c)` .

`text(-)32c = 80` geeft `c = text(-)2,5` .

`f''_c(x) = 6cx + 24c = 0` geeft `x = text(-)4` , dus buigpunt `(text(-)4 , text(-)16 c)` .

`f_c'(text(-)4) = text(-)12c` , dus de buigraaklijn heeft een vergelijking van de vorm `y = text(-)12cx + b` .

Deze lijn gaat door het buigpunt met `f(text(-)4) = text(-)16c` Dit geeft `b = text(-)64c` en dus  `y = text(-)12cx - 64c` .
Deze lijn gaat ook door `(0 , 80)` als `text(-)64 c = 80` , dus `c = text(-)1,25` .

Verticale asymptoten: noemer gelijk stellen aan `0` geeft `x = text(-)sqrt(10) ∨ x = sqrt(10)` .
Horizontale asymptoot: ` lim_(x→∞)f(x) = 0 ∧ lim_(x→text(-)∞)f(x) = 0` . Hieruit volgt `y = 0` .

Bepaal de extremen met de rekenmachine: min. `f(1,6) ≈ 3,2` en max. `f(6,4) ≈ 0,8` .
Bereik: `⟨←; 0,8 ⟩ ∪ [3,2 ;→⟩` .

Lees uit de grafiek af: `p < 0 ∨ 0 < p < 0,8 ∨ p ≥ 3,2` .

`(10x - 40)/(x^2 - 10) = 10x - 40` geeft `10x - 40 = 0  ∨ 1/(x^2 - 10) = 1` en dus `x = 4 ∨ x = text(-)sqrt(11) ∨x = sqrt(11)` .
Je vindt `A ≈ (text(-)sqrt(11); text(-)73,17 )` , `B ≈ (sqrt(11); text(-)6,83 )` en `C = (text(-)4 , 0 )` .
`OA` is het langst.

Oppervlakte `O = 2x^2 + 2xl` en dit wordt `2x^2 + 2xl = 40` en   `l = (40-2x^2)/(2x)` .

Inhoud `I = x^2*l` .

Je krijgt dan `I = x^2 * (40-2x^2)/(2x) = 20x - x^3 ` .

GR: Y1=20X-X^3  met venster `[0, 5] xx [0, 40]` .

  `0 < x < sqrt(20 )` .

`I'(x) = 20 - 3 x^2 = 0`  en `x > 0` daaruit volgt   `x = sqrt(20/3) = 2/3 sqrt(15)` .
`I` is maximaal als `x = 2/3 sqrt(15) ≈ 2,58` .
De bijbehorende maximale waarde voor `I` is ongeveer `34,43` m³.
Dus `0 < I < 34,43` .

Nulpunten `(text(-)2, 0)` ,   `(text(-)sqrt(2), 0)` , `(sqrt(2), 0)` , `(2, 0)` .

Min. `f(text(-)sqrt(3)) = text(-)1` ,  max. `f(0) = 8` en min. `f(sqrt(3)) = text(-)1` .

De snijpunten van `f` en `g` zijn `(text(-)sqrt(6), 8)` en `(sqrt(6), 8) ` .

`f(x) < g(x)` voor  `text(-)sqrt(6) < x < sqrt(6)`

Het zijn er drie.

Nulpunten `(0 , 0)` en `(2 , 0)` .

Min. `f_4 (0) = f_4 (2) = 0` en max. `f_4 (1) = 1` .

Buigpunten `(1 - 1/3 sqrt(3), 4/9)` en `(1 + 1/3 sqrt(3), 4/9)` .

`m = 64/81`

voor `p < 0 ∨ 0 < p < 12` .

`x = 2 - sqrt(2) ∨ x = 2 + sqrt(2) ∨ x = text(-)1/2`

Nulpunten `(text(-)1/2, 0 )` en `(2 , 0 )` .

Toppen `(1/3, 4 17/27)` en `(2, 0 )` .

Buigpunt `(1 1/6, 2 17/54)` .

`a = 0 ∨ a = 6 1/4`

Voor  `a < text(-)2 1/12` .