Afgeleide functies

Afgeleide functies > Veeltermen

Overzicht

1234567Veeltermen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

$f(x)=(x^2-1)(x^2-9)(x^2-16)=x^6-26x^4+169x^2-144$

Ja, dat kun je aan het functievoorschrift zien. Hoe, dat zie je verder in dit onderdeel.

Opgave 1

$x=0 ∨x≈±1,76 ∨x≈±1,58 ∨x≈±1,90$

$x≈±0,55 ∨x≈±1,38 ∨x≈±1,78$

Het maximale aantal nulwaarden van een veelterm met hoogste exponent $n$ is gelijk aan $n$ .

Opgave 2

$(x^2-1 )(x^2-2 )=0$ geeft $x=text(-)1 ∨ x=1 ∨ x=text(-)sqrt(2) ∨ x=sqrt(2)$ .

De nulpunten zijn daarmee : $(text(-)1, 0)$ , $(1 , 0 )$ , $(text(-)sqrt(2 ), 0 )$ en $(sqrt(2), 0)$ .

Haakjes uitwerken geeft $f(x)=x^4-3x^2+2$ .

$f'(x)=4 x^3-6 x=0$ geeft $x=0 ∨x=text(-)sqrt(3/2)=text(-)1/2sqrt(6 ) ∨ x=sqrt(3/2)=1/2sqrt(6 )$ .

Uit de grafiek van $f$ kun je zien dat

min. $f(text(-)1/2sqrt(6 ))=text(-)1/4$ , max. $f(0 )=2$ en min. $f(1/2sqrt(6 ))=text(-)1/4$ .

$f"(x)=12 x^2-6 =0$ geeft $x=+=sqrt((1/2))=+=1/2sqrt((2 ))$ .
Buigpunten $(±1/2sqrt((2 )), 3/4)$ .

Opgave 3

$f(1)=g(1)=0$

Omdat $x=1$ een nulpunt oplevert van $f$ , kun je het functievoorschrift van $f$ ontbinden in $(x-1)(...)$ .

Met een staartdeling vind je $f(x)=(x-1 )(x^2-4 x+1 )$ .

$f(x)=(x-1 )(x^2-4 x+1 )=0$ geeft $x=1$ ∨ $x=2 -sqrt(3 )$ ∨ $x=2 +sqrt(3 )$ .
Nulpunten: $(1 , 0 )$ , $(2 -sqrt(3 ), 0 )$ en $(2 +sqrt(3 ), 0 )$ .

$f'(x)=3 x^2-10 x+5 =0$ geeft $x= (10 -sqrt(40 )) /6=1 2/3-1/3sqrt(10) ∨ x= (10 +sqrt(40 )) /6=1 2/3+1/3sqrt(10)$ .

Uit de grafiek van $f$ kun je zien dat er een maximum is voor $x= 1 2/3-1/3sqrt(10)$ en een minimum voor $x= 1 2/3+1/3sqrt(10)$ .

$f"(x)=6 x-10 =0$ geeft $x=5/3=1 2/3~~1,67$ .
Buigpunt: $(1,67; text(-)1,93 )$ .

$f(x)=g(x)$ geeft met de GR: $x≈text(-)3,15 ∨ x=1$ .
Uit de grafiek van $f$ en $g$ kun je vervolgens aflezen dat $text(-)3 ,15 < x≤1$ .

Opgave 4

$x^3-4 x^2=12 x$ geeft $x^3-4x^2-12x=0$ en $x(x^2-4x-12)=0$ dus $x(x+2)(x-6)=0$ .

Hieruit volgt $x=text(-)2 ∨x=0 ∨x=6$ .

$text(-)0,1 x^5=4 x^2$ geeft $x^2=0 ∨ text(-)0,1x^3=4$ Dus $x=0 ∨x=root[3 ](text(-)40 )$ .

$(x-1 )(x+1 )(2 x-5 )=5$ geeft $2x^3-5x^2-2x+5=5$ .

Daaruit volgt $x(x^2-5x-2)=0$ en $x=0 ∨ x=1 1/4-1/5sqrt(41) ∨ x=1 1/4+1/5sqrt(41)$ .

Met de GR vind je $x=4$ .

Er zijn geen andere nulpunten.

Opgave 5

$f_c'(x)=2 x^3-2 cx=0$ geeft $2x(x^2-c)=0$ en dus $x=0 ∨ x=text(-)sqrt(c) ∨ x=sqrt(c)$ .

Voor $c=0$ heeft $f_0$ een minimum voor $x=0$ .

Voor $c < 0$ heeft $f_c$ maar één punt waar de afgeleide gelijk is aan $0$ , namelijk voor $x=0$ .

Met een tekenschema kun je aantonen dat er een tekenwisseling plaatsvindt bij $x=0$ .

Voor $c < 0$ geldt $f'_c(text(-)1)=text(-)2+2c < 0$ en $f'_c(1)=2-2c>0$ .

Bij $x=0$ is er dus een minimum.

Voor $c>0$ geldt $f'_c(text(-)2sqrt(c))=text(-)1/2csqrt(c) < 0$ , $f'_c(text(-)1/2sqrt(c))=3/4csqrt(c)>0$ , $f'_c(1/2sqrt(c))=text(-)3/4csqrt(c) < 0$ en $f'_c(2sqrt(c))=12csqrt(c)>0$ .

Bij $x=0$ is er dan een maximum.

Er moet dan gelden $f(x)=0 ∧ f'(0)=0$ .

Dus $1/2x^4-cx^2+c=0$ en $2x^3-2cx=0$ .

Uit de laatste vergelijking volgt $c=x^2$ en gesubstitueerd in de eerste vergelijking levert dat $-1/2x^4+x^2=0$ en dat geeft $x=0 ∨ x=text(-)sqrt(2) ∨ x=sqrt(2)$ .

Hieruit volgt dan $c=0 ∨ c=2$ .

Er moet dan gelden $f(x)=0 ∧ f''0)=0$ .

Dus $1/2x^4-cx^2+c=0$ en $6x^2-2c=0$ .

Uit de laatste vergelijking volgt $c=3x^2$ en gesubstitueerd in de eerste vergelijking levert dat $text(-)2 1/2x^4+3x^2=0$ en dat geeft $x=0 ∨ x=text(-)1/5sqrt(30) ∨ x=1/5sqrt(30)$ .

Hieruit volgt dan $c=0 ∨ c=3 3/5$ .

Er moet gelden $f_c'(1 )=1$

$f_c'(x)=2x^3-2cx$ dus $f_c'(1)=2-2c$ . Hieruit volgt $c=1/2$ .

Opgave 6

$p(x)=x^2(2 x-8 )=0$ geeft $x=0 ∨x=4$ .

Nulpunten: $(0 , 0 )$ en $(4 , 0 )$ .
$p'(x)=6 x^2-16 x=0$ geeft $x=0 ∨x=2 2/3$ .

Toppen: $(0 , 0 )$ en $(2 2/3, text(-)512/27)$ .

$x^2(2 x-8 )=2 x-8$ geeft $x^2=1 ∨ 2 x-8 =0$ en dus $x=text(-)1 ∨ x=1 ∨x=4$ .

$x^2(2 x-8 )=text(-)2 x^2$ geeft $x^2=0 ∨2 x-8 =text(-)2$ en dus $x=0 ∨ x=3$ .

Uit de grafiek van $p$ en $y=text(-)2x^2$ kun je vervolgens de oplossing aflezen: $x≤3$ .

Opgave 7

$D_q=⟨←,4 ⟩∪⟨4 ,→⟩$
$q$ is geen veeltermfunctie omdat de (staart)deling niet op $0$ uit komt.

Verticale asymptoot: $x=4$ .
Omdat de hoogste macht van $x$ in de teller groter is dan de grootste macht van $x$ in de noemer is $lim_(x rarr oo) q(x) = oo$ en $lim_(x rarr text(-)oo) q(x) = text(-)oo$ . Er is dus geen horizontale asymptoot.

Bekijk met behulp van de GR een grafiek van $q$ .

Met de GR vindt je: max. $q(0)=0$ en min. $q(8)=8$ .

Dus $B_q=⟨←,0 ]∪[8 ,→⟩$ .

Opgave 8

Nulpunt $(1 ,0 )$ .

Met een staartdeling vind je : $f(x)=x^3+9 x^2-15 x+5 =(x-1 )(x^2+10 x-5 )$ .
Dus $f(x)=0$ geeft $x=1 ∨ x=text(-)5-sqrt(30) ∨ x=text(-)5+sqrt(30)$ .
De andere nulpunten zijn $(text(-)10,48 ; 0 )$ en $(0,48 ; 0 )$ .

$f'(x)=3 x^2+18 x-15 =0$ geeft $x=text(-)3-sqrt(14) ∨ x=text(-)3+sqrt(14)$ .

Uit de grafiek kun je devolgende extremen aflezen:

max. $f(text(-)3-sqrt(14))≈208,77$ en min. $f(text(-)3+sqrt(14))≈text(-)0,77$ .

Toppen: $(text(-)6,74 ; 208,77 )$ en $(0,74 ; text(-)0,77 )$ .
$f"(x)=6 x+18 =0$ geeft $x=text(-)3$ . Buigpunt $(text(-)3, f(text(-)3))=(text(-)3, 104 )$ .

$f'(x)= 3 x^2+18 x-15 =text(-)5$ geeft $x= text(-)3-1/3sqrt(111) ∨ x= text(-)3+1/3sqrt(111)$ .

$f'(0 )=15$

Opgave 9

$x^3-2 x^2=3 x-6$ geeft $x^2(x-2 )=3 (x-2 )$ en dus $x^2=3 ∨ x=2$ . Dus $x=text(-)sqrt(3) ∨ x=sqrt(3) ∨ x=2$ .

Met de GR kun je aflezen dat er een nulpunt is voor $x=text(-)8$ .

Controle $f(text(-)8)=0$ bevestigt dat.

Met een staartdeling vind je $0,5 x^4+4 x^3-6 x-48 =(x+8 )(0,5 x^3-6 )=0$ en dus $x=text(-)8 ∨ x=root[3 ](12)$ .

$x^6-16 x^3+60 =(x^3-10 )(x^3-6 )=0$ geeft $x=root[3 ](6) ∨ x=root[3 ](10)$ .

Met de GR kun je aflezen dat er een nulpunt is voor $x=1$ .

Controle $f(1)=0$ bevestigt dat.

Met een staartdeling vind je

$(x-1 )(x^2-2 )=0$ geeft $x=text(-)sqrt(2) ∨ x=1 ∨ x=sqrt(2)$ .

Opgave 10

GR: Y1=X^4-2X^2-8 met venster $[text(-)2, 2] xx [0, 16]$ .

Uit de grafiek kun je aflezen dat er drie toppen zijn en twee buigpunten.

$f_1 '(x)=4 x^3-4 x=0$ geeft $x=text(-)1 ∨ x=0 ∨ x=1$ .
Toppen: $(text(-)1 , 7 )$ , $(0 , 8 )$ en $(1 , 7 )$ .

$f_1''(x)=12 x^2-4 =0$ geeft $x=text(-)1/3sqrt(3) ∨ x=1/3sqrt(3)$ .
Buigpunten: $(-1/3sqrt(3), 7 4/9)$ en $(1/3sqrt(3), 7 4/9)$ .

Als $f_p$ de $x$ -as raakt dan geldt er $f_p(x)=0$ en $f_p'(x)=0$ .

Dit geeft twee vergelijkingen $px^4-2x^2+8p=0$ en $4px^3-4x=0$ .

Uit de tweede vergelijking volgt $x=0 ∨ x^2=1/p$ .

Als je deze twee oplossingen in de eerste vergelijking substitueert dan krijg je weer twee vergelijkingen:

$8p=0$ dus $p=0$ en

$p*(1/p)^2-2*1/p+8p=0$ dus $p^2=1/8$ en $p=text(-)1/4sqrt(2) ∨ p=1/4sqrt(2)$

Een grafiek van $f$ voor die waarden van $p$ bevestigt dat.

Als $f_p$ de $x$ -as raakt dan geldt er $f_p(x)=0$ en $f''_p(x)=0$ .

Dit geeft twee vergelijkingen $px^4-2x^2+8p=0$ en $12px^2-4=0$ .

Uit de tweede vergelijking volgt $x^2=1/(3p)$ .

Als je deze oplossing in de eerste vergelijking substitueert dan krijg je de vergelijking:

$p*(1/(3p))^2-2*1/(3p)+8p=0$ dus $p^2=5/72$ en $p=text(-)1/12sqrt(10) ∨ p=1/12sqrt(10)$

Een grafiek van $f$ voor die waarde van $p$ bevestigt dat.

Opgave 11

Voor $x=0$ is $f(x)=0$ en is $h_4$ dus ook gelijk aan $0$ . De grafiek van $h_4$ gaat door $O$ .

Voor $x=text(-)4$ is $g_4(x)=0$ en is $h_4$ dus ook gelijk aan $0$ . De grafiek van $h_4$ gaat door punt $A$ .
Voor $x=text(-)1 ∨ x=1$ is $f(x)=1$ en is $h_4$ daarom gelijk aan $g_4$ en gaat de grafiek van $h_4$ dus door de punten $B$ en $C$ .

$h_4 (x)=x^3+4 x^2$ en $h_4 '(x)=3 x^2+8 x$ .
$h_4 '(x)=0$ geeft $x=0 ∨x=text(-)8/3=text(-)2 2/3$

Uit de grafiek van $f$ kun je aflezen dat er een maximum is $x=text(-)2 2/3$ en een minimum bij $x=0$ :

max. $h_4 (text(-)2 2/3)=9 13/27$ en min. $h_4 (0 )=0$ .

Bij deelopgave heb je gezien dat de grafiek van $h_4$ bij punt $A$ , $B$ en $C$ door hetzelfde punt gaat als de grafiek van $g_4$ . Als de waarde van $a$ verandert, veranderen de coördinaten van de punten $A$ , $B$ en $C$ mee.

Punt $A$ krijgt dan de coördinaten $(text(-)a, 0)$ . Alle punten $A$ liggen op de $x$ -as, dat is de lijn $y=0$ .

Punt $B$ krijgt de coördinaten $(text(-)1, text(-)1+a)$ , daarmee liggen alle punten $B$ op de lijn $x=text(-)1$ .

Punt $C$ krijgt uiteindelijk de coordinaten $(1,1+a)$ en daarmee liggen alle punten $C$ op de lijn $x=1$

$h_a'(x)=3 x^2+2 ax=0$ geeft $x=0 ∨ x=text(-)2/3a$ .
De toppen zijn daarmee $(0 , 0 )$ en $(text(-)2/3a, 4/27a^3)$ . Deze punten liggen beide op $y= text(-)1/2x^3$ .

Opgave 12

$f_1 (x)=x^3+12 x^2+36 x$ en $f_1 '(x)=3 x^2+24 x+36$ .
$f_1 '(x)=0$ geeft $x=text(-)6 ∨ x=text(-)2$ .

GR: er geldt max. $f(text(-)6 )=0$ en min. $f(text(-)2 )=text(-)32$ .

De grafiek van $f_c(x)$ ontstaat uit die van $f(x)$ na vermenigvuldiging met $c$ ten opzichte van de $x$ -as.

De $x$ -coordinaten van de toppen veranderen daardoor niet, de toppen zijn dan $(text(-)6 ,0 )$ en $(text(-)2 , text(-)32 c)$ .

$text(-)32 c=80$ geeft $c=text(-)2,5$ .

$f_c"(x)=6 cx+24 c=0$ geeft $x=text(-)4$ , dus buigpunt $(text(-)4 , text(-)16 c)$ .

$f_c'(text(-)4 )=text(-)12 c$ , dus de buigraaklijn heeft een vergelijking van de vorm $y=text(-)12 cx+b$ .

Deze lijn gaat door het buigpunt met $f(text(-)4)=text(-)16c$ Dit geeft $b=text(-)64c$ en dus $y=text(-)12 cx-64 c$ .
Deze lijn gaat ook door $(0 , 80 )$ als $text(-)64 c=80$ , dus $c=text(-)1,25$ .

Opgave 13

Verticale asymptoten: noemer gelijk stellen aan $0$ geeft $x=text(-)sqrt(10) ∨ x=sqrt(10)$ .
Horizontale asymptoot: $lim_(x→∞)f(x)=0 ∧ lim_(x→–∞)f(x)=0$ . Hieruit volgt $y=0$ .

Bepaal de extremen met de rekenmachine: min. $f(1,6 )≈3,2$ en max. $f(6,4 )≈0,8$ .
Bereik: $⟨←; 0,8 ⟩ ∪ [3,2 ;→⟩$ .

Lees uit de grafiek af: $p < 0 ∨ 0 < p < 0,8 ∨ p ≥3,2$ .

$(10 x-40 ) / (x^2-10 ) =10 x-40$ geeft $10 x-40=0 ∨ 1/ (x^2-10 ) =1$ en dus $x=4 ∨ x=text(-)sqrt(11) ∨x=sqrt(11)$ .
Je vindt $A≈(text(-)sqrt(11); text(-)73,17 )$ , $B≈(sqrt(11); text(-)6,83 )$ en $C=(text(-)4 , 0 )$ .
$OA$ is het langst.

Opgave 14Fietsenstalling

Fietsenstalling

Oppervlakte $O=2x^2+2xl$ en dit wordt $2x^2+2xl=40$ en $l=(40-2x^2)/(2x)$ .

Inhoud $I=x^2*l$ .

Je krijgt dan $I=x^2* (40-2x^2)/(2x)= 20 x-x^3$ .

GR: Y1=20X-X^3 met venster $[0, 5] xx [0, 40]$ .

$0 < x < sqrt(20 )$ .

$I'(x)=20 -3 x^2=0$ en $x > 0$ daaruit volgt $x=sqrt(20/3)=2/3sqrt(15)$ .
$I$ is maximaal als $x=2/3sqrt(15)≈2,58$ .
De bijbehorende maximale waarde voor $I$ is ongeveer $34,43$ m³.
Dus $0 < I < 34,43$ .

Opgave 15

Nulpunten $(text(-)2, 0)$ , $(text(-)sqrt(2), 0), ( sqrt(2), 0), (2, 0)$ .

Min. $f(text(-)sqrt(3))=text(-)1$ , max. $f(0 )=8$ en min. $f(sqrt(3))=text(-)1$ .

De snijpunten van $f$ en $g$ zijn $(text(-)sqrt(6), 8 )$ en $(sqrt(6), 8 )$ .

$f(x) < g(x)$ voor $text(-)sqrt(6 ) < x < sqrt(6)$

Het zijn er drie.

Opgave 16

$x=text(-)2 ∨ x=text(-)3 -sqrt(3) ∨ x=text(-)3+sqrt(3)$ .

Opgave 17

Nulpunten $(0 , 0 )$ en $(2 , 0 )$ .

Min. $f_4 (0 )=f_4 (2 )=0$ en max. $f_4 (1 )=1$ .

Buigpunten $( 1-1/3sqrt(3), 4/9)$ en $( 1+1/3sqrt(3), 4/9)$ .

$m=64/81$

voor $p < 0 ∨ 0 < p < 12$ .

Opgave 18

$x=2 -sqrt(2) ∨ x=2+sqrt(2) ∨ x=text(-)1/2$

Nulpunten $(text(-)1/2, 0 )$ en $(2 , 0 )$ .

Toppen $(1/3, 4 17/27)$ en $(2, 0 )$ .

Buigpunt $(1 1/6, 2 17/54)$ .

$a=0 ∨ a=6 1/4$

Voor $a < text(-)2 1/12$ .

verder | terug