Ja, dat kun je aan het functievoorschrift zien. Hoe, dat zie je verder in dit onderdeel.
Het maximale aantal nulwaarden van een veelterm met hoogste exponent is gelijk aan .
geeft .
De nulpunten zijn daarmee : , , en .
Haakjes uitwerken geeft .
geeft .
Uit de grafiek van kun je zien dat
min., max. en min..
geeft .
Buigpunten .
Omdat een nulpunt oplevert van , kun je het functievoorschrift van ontbinden in .
Met een staartdeling vind je .
geeft ∨ ∨ .
Nulpunten: , en .
geeft .
Uit de grafiek van kun je zien dat er een maximum is voor en een minimum voor .
geeft .
Buigpunt: .
geeft met de GR: .
Uit de grafiek van en kun je vervolgens aflezen dat .
geeft en dus .
Hieruit volgt .
geeft Dus .
geeft .
Daaruit volgt en .
Met de GR vind je .
Er zijn geen andere nulpunten.
geeft en dus .
Voor heeft een minimum voor .
Voor heeft maar één punt waar de afgeleide gelijk is aan , namelijk voor .
Met een tekenschema kun je aantonen dat er een tekenwisseling plaatsvindt bij .
Voor geldt en .
Bij is er dus een minimum.
Voor geldt , , en .
Bij is er dan een maximum.
Er moet dan gelden .
Dus en .
Uit de laatste vergelijking volgt en gesubstitueerd in de eerste vergelijking levert dat en dat geeft .
Hieruit volgt dan .
Er moet dan gelden .
Dus en .
Uit de laatste vergelijking volgt en gesubstitueerd in de eerste vergelijking levert dat en dat geeft .
Hieruit volgt dan .
Er moet gelden
dus . Hieruit volgt .
geeft .
Nulpunten: en .
geeft .
Toppen: en .
geeft en dus .
geeft en dus .
Uit de grafiek van en kun je vervolgens de oplossing aflezen: .
is geen veeltermfunctie omdat de (staart)deling niet op uit komt.
Verticale asymptoot: .
Omdat de hoogste macht van in de teller groter is dan de grootste macht van in de noemer is en . Er is dus geen horizontale asymptoot.
Bekijk met behulp van de GR een grafiek van .
Met de GR vindt je: max. en min..
Dus .
Nulpunt .
Met een staartdeling vind je : .
Dus geeft .
De andere nulpunten zijn en .
geeft .
Uit de grafiek kun je devolgende extremen aflezen:
max. en min..
Toppen: en .
geeft . Buigpunt .
geeft .
geeft en dus . Dus .
Met de GR kun je aflezen dat er een nulpunt is voor .
Controle bevestigt dat.
Met een staartdeling vind je en dus .
geeft .
Met de GR kun je aflezen dat er een nulpunt is voor .
Controle bevestigt dat.
Met een staartdeling vind je
geeft .
GR: Y1=X^4-2X^2-8 met venster .
Uit de grafiek kun je aflezen dat er drie toppen zijn en twee buigpunten.
geeft .
Toppen: , en .
geeft .
Buigpunten: en .
Als de -as raakt dan geldt er en .
Dit geeft twee vergelijkingen en .
Uit de tweede vergelijking volgt .
Als je deze twee oplossingen in de eerste vergelijking substitueert dan krijg je weer twee vergelijkingen:
dus en
dus en
Een grafiek van voor die waarden van bevestigt dat.
Als de -as raakt dan geldt er en .
Dit geeft twee vergelijkingen en .
Uit de tweede vergelijking volgt .
Als je deze oplossing in de eerste vergelijking substitueert dan krijg je de vergelijking:
dus en
Een grafiek van voor die waarde van bevestigt dat.
Voor is en is dus ook gelijk aan . De grafiek van gaat door .
Voor is en is dus ook gelijk aan . De grafiek van gaat door punt .
Voor is en is daarom gelijk aan en gaat de grafiek van dus door de punten en .
en .
geeft
Uit de grafiek van kun je aflezen dat er een maximum is en een minimum bij :
max. en min..
Bij deelopgave heb je gezien dat de grafiek van bij punt , en door hetzelfde punt gaat als de grafiek van . Als de waarde van verandert, veranderen de coördinaten van de punten , en mee.
Punt krijgt dan de coördinaten . Alle punten liggen op de -as, dat is de lijn .
Punt krijgt de coördinaten, daarmee liggen alle punten op de lijn .
Punt krijgt uiteindelijk de coordinaten en daarmee liggen alle punten op de lijn
geeft .
De toppen zijn daarmee en . Deze punten liggen beide op .
en .
geeft .
GR: er geldt max. en min..
De grafiek van ontstaat uit die van na vermenigvuldiging met ten opzichte van de -as.
De -coordinaten van de toppen veranderen daardoor niet, de toppen zijn dan en .
geeft .
geeft , dus buigpunt .
, dus de buigraaklijn heeft een vergelijking van de vorm .
Deze lijn gaat door het buigpunt met Dit geeft en dus .
Deze lijn gaat ook door als , dus .
Verticale asymptoten: noemer gelijk stellen aan geeft .
Horizontale asymptoot: . Hieruit volgt .
Bepaal de extremen met de rekenmachine: min. en max..
Bereik: .
Lees uit de grafiek af: .
geeft en dus .
Je vindt , en .
is het langst.
Oppervlakte en dit wordt en .
Inhoud .
Je krijgt dan .
GR: Y1=20X-X^3 met venster .
.
en daaruit volgt .
is maximaal als .
De bijbehorende maximale waarde voor is ongeveer m3.
Dus .
Nulpunten, .
Min., max. en min..
De snijpunten van en zijn en .
voor
Het zijn er drie.
.
Nulpunten en .
Min. en max..
Buigpunten en .
voor .
Nulpunten en .
Toppen en .
Buigpunt .
Voor .