Afgeleide functies > VeeltermenVoorbeeld 2
Gegeven is de familie van functies
`f_p(x) = x^3 - px^2 + 9x`
.
Voor welke waarden van
`p`
heeft de grafiek van
`f_p`
precies twee extremen? Toon ook aan dat elke functie van deze familie precies één
buigpunt heeft.
Voor de extremen geldt:
`f_p'(x) = 3x^2 - 2px + 9 = 0`
Er zijn twee oplossingen als
`D = (text(-)2p)^2 - 4 * 3 * 9 gt 0`
.
Dit is het geval als:
`p lt text(-)sqrt(27) ∨ p gt sqrt(27)`
.
Omdat de grafiek van
`f_p'`
dan een dalparabool is met twee nulpunten, wisselt de afgeleide ook van teken, zodat
er inderdaad extremen zijn.
Voor de buigpunten geldt:
`f''_p(x) = 6x - 2p = 0`
.
Deze vergelijking heeft voor elke
`p`
precies één oplossing. De grafiek van
`f''_p`
is een rechte lijn met een nulpunt en
`f''_p`
wisselt dus van teken, er is een buigpunt.
Bekijk enkele grafieken van functies van de vorm `f_c(x) = 1/2 x^4 - cx^2 + c` op domein `[text(-)4, 4]` .
Bewijs dat elke functie `f_c` een extreme waarde heeft voor `x = 0` .
Voor welke waarden van `c` raakt de grafiek van `f_c` de `x` -as?
Voor welke waarden van `c` liggen de buigpunten van de grafiek van `f_c` op de `x` -as?
Voor welke waarden van `c` heeft de grafiek van `f_c` voor `x = 1` een hellingsgetal van `1` ?