Afgeleide functies > VeeltermenVoorbeeld 3
`f(x) = x^3 - 8x^2`
en
`g(x) = x^2 - 4`
zijn voorbeelden van functievoorschriften van veeltermfuncties.
`p(x) = f(x)*g(x)`
is het product van deze veeltermfuncties.
Laat zien dat
`p`
ook een veeltermfunctie is en leg uit waarom het aantal toppen van de grafiek van
`p`
precies één meer is dan dat van
`f`
en
`g`
samen.
`p(x) = (x^3 - 8x^2)(x^2 - 4) = x^5 - 8x^4 - 4x^3 + 32x^2`
Je ziet dat het functievoorschrift van
`p`
inderdaad als veelterm kan worden geschreven.
De extremen vind je uit
`p'(x) = 5x^4 - 32x^3 - 12x^2 + 64x = 0`
.
Ondanks dat je
`x`
buiten haakjes kunt halen, is deze vergelijking niet eenvoudig op te lossen.
Je moet de extremen van
`p`
daarom met de GR bepalen.
Ga na, dat je vindt: max.
`p(text(-)1,44) ≈ 37,71`
, min.
`p(0) = 0`
, max.
`p(1,37) ≈ 26,42`
en
min.
`p(6,46) ≈ text(-)2424,9`
.
Bekijk je alle drie de grafieken, dan zie je dat `f` twee, `g` één en `p` vier extremen heeft. Waarom dit zo is, zie je aan hun afgeleiden. `f'` heeft `2` als hoogste macht, `g'` heeft `1` als hoogste macht en `p'` heeft `4` als hoogste macht. Die hoogste machten van de afgeleiden bepalen hoeveel extremen er hoogstens zijn.
Gegeven zijn de functies
`f(x) = x^2`
en
`g(x) = 2x - 8`
.
Bekijk de functie
`p(x) = f(x)*g(x)`
.
Bereken algebraïsch de nulpunten en de toppen van `p` .
Los op: `p(x) = 2x - 8` . Is het uitwerken van de haakjes hierbij nodig?
Los op: `p(x) ≤ text(-)2x^2` .