Afgeleide functies > Totaalbeeld
1234567Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

`h'(x) = text(-)12x^3 + 48x`

b

`P'(q) = q - 20`

c

`f'(x) = 20ax^4 - 24a^2 x + 60`

d

`g'(a) = 4x^5 - 24ax^2 + 100`

e

`E'(t) = 1 + t + (t^2)/2 + (t^3)/6 + (t^4)/24 `

f

`f'(x) = 12a(ax + b)^11`

Opgave 2
a

`f'(x) = 6x^2 - 4x^3 = 0` geeft `x = 0 ∨ x = 1 ,5` .

`f'(text(-)1) = 10` , `f'(1) = 2` en `f'(2) = text(-)8` . Bij `x = 0` is er geen sprake van tekenwisseling en bij `x = 1,5` wel. De enige extreme waarde is bij `x = 1,5` .

b

De coördinaten zijn `(1, 1)` .

c

`y = 2x - 1`

Opgave 3
a

`text(-)x^2 = 0,5x^3 - 2x ` levert een derdegraads vergelijking op en die heeft maximaal `3` oplossingen (hoofdstelling algebra).

b

`f` heeft een dubbel nulpunt bij `x = 0` , `g` heeft ook een nulpunt bij `x = 0` . Het product van `f` en `g` heeft daarom een drievoudig nulpunt bij `x = 0` .

`f(x)*g(x) = text(-)x^2(0,5x^3 - 2x) = 0` geeft `x^3(text(-)0,5x^2 + 2) = 0` en dus `x = 0 ∨ x = text(-)2 ∨ x = 2` .

c

`(f(x))/(g(x)) = (text(-)x^2)/(0,5x^3 - 2x) `

`0,5x^3 - 2x = 0` geeft `x = text(-)2 vv x = 0 vv x = 2` . Aan de grafiek of een tabel kun je zien dat er hier verticale asymptoten zijn.

Het quotiënt van `f` en `g` heeft `3` verticale asymptoten voor `x = text(-)2` , `x = 0` en `x = 2` en een horizontale asymptoot voor `y = 0` .

`text(D) = ⟨←, text(-)2⟩ uu ⟨text(-)2, 2⟩ uu ⟨2, →⟩`

`text(B) = ⟨←, 0⟩ uu ⟨0, →⟩`

Opgave 4
a

`p ge 0` betekent `120 - 10q ge 0` en dus `q le 12` .
Omdat `q ge 0` is daarom `0 ≤ q ≤ 12` .

b

`TO = pq = 120q - 10q^2`

c

`TW = TO - TK = text(-)1,5q^3 + 12,5q^2`

d

`TW'(q) = text(-)4,5q^2 + 25q = 0` geeft `q = 0 ∨ q = 50/9` .
`TW` is maximaal bij `q = 50/9` en dan is `p≈64,44` euro.

e

`GTK = (TK)/q = 1,5q^2 - 22,5q + 120` en `GTK'(q) = 3q - 22,5 = 0` als `q = 7,5` .
Dus bij een afzet van `7500` stuks.

Opgave 5
a

`f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 2px = 0` geeft `x = 0 ∨ x = (6 ± sqrt(36 - 8p))/4` .
Er is maar één nulpunt als `36 - 8 p lt 0` , dus als `p gt 4,5` .

`f'(text(-)1) = text(-)16 - 2p lt 0` (als `p gt 4,5` )

`f'(1) = text(-)8 + 2p gt 1` (als `p gt 4,5` )

Het teken bij `x = 0` klapt om en omdat het van dalend naar stijgend gaat is er sprake van een minimum.

b

`p = 5`

Opgave 6
a

Gebruik de GR: `text(B)_f = [text(-)4 ; 3,39 〉` .

b

`(100 x^2 - 400)/(x^4 + 100) = 80/(x^2)` geeft `100x^4 - 400x^2 = 80x^4 + 8000` en `x^4 - 20x^2 - 400 = 0` . Dit levert op `x^2 = 10 ± 10 sqrt(5)` en `x = ±sqrt(10 + 10 sqrt(5))` .
Oplossing: `text(-)sqrt(10 + 10 sqrt(5)) le x lt 0 ∨ 0 lt x le sqrt(10 + 10 sqrt(5))` .

c

`f(x) = 1/(f(x))` geeft `f(x) = ±1` .
`f(x) = 1` geeft `x^2 = (100 ± sqrt(8000))/2` en dus `x ≈ ±9,73 ∨ x ≈ ±2,30` .
`f(x) = text(-)1` geeft `x^2 = (100 ± sqrt(11200))/2` en dus `x ≈ ±1,71` .
Oplossing: `x lt text(-)9,73 ∨ text(-)2,30 lt x lt text(-)2 ∨ text(-)1,71 lt x lt 1,71 ∨ 2 lt x lt 2,30 ∨ x gt 9,73` .

Opgave 7
a

`f'(x) = 4x^3 - 42x^2 - 40x + 600`
Omdat er (bekijk de grafiek) bij `x = 10` een top zit is `f'(x) = (x - 10)(4x^2 - 2x - 60 )` (staartdeling). En dus is `f'(x) = 0` als `x = 10 ∨ x = (2 ± sqrt(962))/8` .
Toppen: `(10, 0 )` , `(text(-)3,63 ; 1598,30 )` en `(4,13 ; 1441,60 )` .
`f''(x) = 12x^2 - 84x - 40 = 0` geeft `x = (21 ± sqrt(561))/6` .
Buigpunten: `(7,45 ; 652,47 )` en `(text(-)0,45 ; text(-)271,27)` .

b

Bekijk de grafiek van `f` met venster `[text(-)10, 15]xx[text(-)2000, 2000]` .
Je hebt het (lokale) maximum nodig.
Grafiek: `p = 0 ∨ p ≈ 1441,57` .

c

`f(0) = 0` en `f'(0) = 600` , dus de raaklijn is `y = 600x` .
`f(x) = 600x` geeft `x = 0 ∨ x = (14 ± sqrt(276))/2` .
De gevraagde punten zijn `(15,3 ; 9184,0 )` en `(text(-)1,3 ; 784,0)` .

Opgave 8Plastic bakjes
Plastic bakjes
a

Lengte = `l` , breedte = `2 h` en hoogte = `h` .
`l + 8h = 120` en `I = l*2h^2` geeft `I = 2h^2(120 - 8h) = 240h^2 - 16h^3` .
`I'(x) = 480h - 48h^2 = 0` geeft `h = 0 ∨ h = 10` , alleen `h = 10` levert een maximum op.
`h = 10` betekent `b = 20` en `l = 40` , dus `I = 8000` cm3.

b

Zelfde procedure als bij a, maar met `l + 8h = p` geeft: `h = 1/12 p` , `b = 1/6 p` en `l = 1/3 p` . Inderdaad is dan `b = 2h` en `l = 4h` .

Opgave 9Piramidedak
Piramidedak

Bekijk de afbeelding voor een situatieschets.

Er is een maximale inhoud als `x = 8` en `h = 2` . De bedoelde afmetingen zijn `6 * 6 * 2` m.

Opgave 10Kogelbaan
Kogelbaan
a

Zie website. `x = (2 v_0)/g * sin(α)cos(α)` .

b

`x` is maximaal als `sin(α)cos(α)` zo groot mogelijk is.
Maak hiervan een grafiek ( `α` in graden) voor `0 ≤ α ≤ 90^@` . Bij `45^@` vind je het maximum.

c

De bijbehorende grootste hoogte is `(v_0)/(4g)` .

Opgave 11
a

Nulpunten: `f(x) = 0` geeft `x = text(-)1/2 ∨ x = ±2` , dus `(text(-)1/2, 0)` , `(text(-)2, 0 )` en `(2, 0 )` .
Extremen: `f'(x) = 6x^2 + 2x - 8 = 0` geeft `x = text(-)1 1/3 ∨ x = 1` ; max. `f(text(-)1 1/3) = 3 19/27` en min. `f(1) = text(-)9` .

b

`f(x) = g(x)` geeft `x = 0 ∨ x = ±2` .
Oplossing: `text(-)2 < x < 0 ∨ x > 2` .

c

De lengte van `AB` is `f(p) - g(p) = 2p^3 - 8p` .
De oppervlakte van `ΔOAB` is `text(-)p^4 + 4p^2 = 3` geeft `(p^2 - 3)(p^2 - 1) = 0` .
Dit levert op `p = text(-)sqrt(3) ∨ p = text(-)1` .

d

Lijn door `O` heeft vergelijking `y = ax` . Raken aan de grafiek van `f` betekent `a = f'(x)` voor een bepaalde waarde van `x` .
Zo krijg je `2x^3 + 4x^2 - 8x - 4 = x(6x^2 + 2x - 8)` en dus `4x^3 - 2x^2 + 4 = 0` .
Deze vergelijking kun je alleen met de GR oplossen: `x ≈ text(-)0,858` .
Het raakpunt wordt ongeveer `(text(-)0,858 ; 4,546 )` en de vergelijking van de raaklijn wordt `y = text(-)5,30 x` .

(bron: examen wiskunde B vwo 1996, eerste tijdvak, aangepast)

Opgave 12Tennis
Tennis
a

als `v = 17` dan `h = text(-)0,0185a^2 + 0,27a + 2,50` .
`h'(a) = text(-)0,037a + 0,27 = 0` geeft `a ≈ 7,3` .
Daarbij hoort een maximale hoogte van `h ≈ 3,5` m.

b

`150` km/h komt overeen met `41,67` m/s.
Volgens de grafiek hoort daar een hoek bij van ongeveer `text(-)5^@` .

c

Bij de netsituatie: als `a = 12` dan `h = 1` .
Dit geeft: `(text(-) 5,16)/(v^2)*12^2 + 0,18*12 + 2,50 = 1` en dus `(743,04)/(v^2) = 3,66` en `v ≈ 14,25` . Conclusie: `v ≤ 14,2` (m/s) of `v lt 14,3` (m/s).

d

`7` meter voorbij het net betekent `a=19` en de grond raken betekent `h=0` .

(bron: examen wiskunde A vwo 2000, eerste tijdvak)

Opgave 13Pizzadoos
Pizzadoos
a

De breedte van de doos is `b - 2x` .
De inhoud van de doos is `x(b - 2x)^2 = x(b^2 - 4bx + 4x^2) = 4x^3 - 4bx^2 + b^2x` .

b

Er moet gelden: `I'(x) = 12x^2 - 8bx + b^2 = 0` .

Daaruit volgt `x = (8b ± sqrt(64b^2 - 48b^2))/24` en dit geeft `x = 1/6 b vv x = 1/2 b` .

De laatste oplossing vervalt.

De grafiek van `I'` is een dalparabool met nulpunten bij `x = 1/6 b vv x = 1/2 b` .

Met behulp van een tekenschema van `I'` blijkt dat er een maximum is bij `x = 1/6 b`

(bron: examen vwo wiskunde B in 2009, eerste tijdvak)

verder | terug