`h'(x) = text(-)12x^3 + 48x`
`P'(q) = q - 20`
`f'(x) = 20ax^4 - 24a^2 x + 60`
`g'(a) = 4x^5 - 24ax^2 + 100`
`E'(t) = 1 + t + (t^2)/2 + (t^3)/6 + (t^4)/24 `
`f'(x) = 12a(ax + b)^11`
`f'(x) = 6x^2 - 4x^3 = 0` geeft `x = 0 ∨ x = 1 ,5` .
`f'(text(-)1) = 10` , `f'(1) = 2` en `f'(2) = text(-)8` . Bij `x = 0` is er geen sprake van tekenwisseling en bij `x = 1,5` wel. De enige extreme waarde is bij `x = 1,5` .
De coördinaten zijn `(1, 1)` .
`y = 2x - 1`
`text(-)x^2 = 0,5x^3 - 2x ` levert een derdegraads vergelijking op en die heeft maximaal `3` oplossingen (hoofdstelling algebra).
`f` heeft een dubbel nulpunt bij `x = 0` , `g` heeft ook een nulpunt bij `x = 0` . Het product van `f` en `g` heeft daarom een drievoudig nulpunt bij `x = 0` .
`f(x)*g(x) = text(-)x^2(0,5x^3 - 2x) = 0` geeft `x^3(text(-)0,5x^2 + 2) = 0` en dus `x = 0 ∨ x = text(-)2 ∨ x = 2` .
`(f(x))/(g(x)) = (text(-)x^2)/(0,5x^3 - 2x) `
`0,5x^3 - 2x = 0` geeft `x = text(-)2 vv x = 0 vv x = 2` . Aan de grafiek of een tabel kun je zien dat er hier verticale asymptoten zijn.
Het quotiënt van `f` en `g` heeft `3` verticale asymptoten voor `x = text(-)2` , `x = 0` en `x = 2` en een horizontale asymptoot voor `y = 0` .
`text(D) = ⟨←, text(-)2⟩ uu ⟨text(-)2, 2⟩ uu ⟨2, →⟩`
`text(B) = ⟨←, 0⟩ uu ⟨0, →⟩`
`p ge 0`
betekent
`120 - 10q ge 0`
en dus
`q le 12`
.
Omdat
`q ge 0`
is daarom
`0 ≤ q ≤ 12`
.
`TO = pq = 120q - 10q^2`
`TW = TO - TK = text(-)1,5q^3 + 12,5q^2`
`TW'(q) = text(-)4,5q^2 + 25q = 0`
geeft
`q = 0 ∨ q = 50/9`
.
`TW`
is maximaal bij
`q = 50/9`
en dan is
`p≈64,44`
euro.
`GTK = (TK)/q = 1,5q^2 - 22,5q + 120`
en
`GTK'(q) = 3q - 22,5 = 0`
als
`q = 7,5`
.
Dus bij een afzet van
`7500`
stuks.
`f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 2px = 0`
geeft
`x = 0 ∨ x = (6 ± sqrt(36 - 8p))/4`
.
Er is maar één nulpunt als
`36 - 8 p lt 0`
, dus als
`p gt 4,5`
.
`f'(text(-)1) = text(-)16 - 2p lt 0` (als `p gt 4,5` )
`f'(1) = text(-)8 + 2p gt 1` (als `p gt 4,5` )
Het teken bij `x = 0` klapt om en omdat het van dalend naar stijgend gaat is er sprake van een minimum.
`p = 5`
Gebruik de GR: `text(B)_f = [text(-)4 ; 3,39 〉` .
`(100 x^2 - 400)/(x^4 + 100) = 80/(x^2)`
geeft
`100x^4 - 400x^2 = 80x^4 + 8000`
en
`x^4 - 20x^2 - 400 = 0`
. Dit levert op
`x^2 = 10 ± 10 sqrt(5)`
en
`x = ±sqrt(10 + 10 sqrt(5))`
.
Oplossing:
`text(-)sqrt(10 + 10 sqrt(5)) le x lt 0 ∨ 0 lt x le sqrt(10 + 10 sqrt(5))`
.
`f(x) = 1/(f(x))`
geeft
`f(x) = ±1`
.
`f(x) = 1`
geeft
`x^2 = (100 ± sqrt(8000))/2`
en dus
`x ≈ ±9,73 ∨ x ≈ ±2,30`
.
`f(x) = text(-)1`
geeft
`x^2 = (100 ± sqrt(11200))/2`
en dus
`x ≈ ±1,71`
.
Oplossing:
`x lt text(-)9,73 ∨ text(-)2,30 lt x lt text(-)2 ∨ text(-)1,71 lt x lt 1,71 ∨ 2 lt
x lt 2,30 ∨ x gt 9,73`
.
`f'(x) = 4x^3 - 42x^2 - 40x + 600`
Omdat er (bekijk de grafiek) bij
`x = 10`
een top zit is
`f'(x) = (x - 10)(4x^2 - 2x - 60 )`
(staartdeling). En dus is
`f'(x) = 0`
als
`x = 10 ∨ x = (2 ± sqrt(962))/8`
.
Toppen:
`(10, 0 )`
,
`(text(-)3,63 ; 1598,30 )`
en
`(4,13 ; 1441,60 )`
.
`f''(x) = 12x^2 - 84x - 40 = 0`
geeft
`x = (21 ± sqrt(561))/6`
.
Buigpunten:
`(7,45 ; 652,47 )`
en
`(text(-)0,45 ; text(-)271,27)`
.
Bekijk de grafiek van
`f`
met venster
`[text(-)10, 15]xx[text(-)2000, 2000]`
.
Je hebt het (lokale) maximum nodig.
Grafiek:
`p = 0 ∨ p ≈ 1441,57`
.
`f(0) = 0`
en
`f'(0) = 600`
, dus de raaklijn is
`y = 600x`
.
`f(x) = 600x`
geeft
`x = 0 ∨ x = (14 ± sqrt(276))/2`
.
De gevraagde punten zijn
`(15,3 ; 9184,0 )`
en
`(text(-)1,3 ; 784,0)`
.
Lengte =
`l`
, breedte =
`2 h`
en hoogte =
`h`
.
`l + 8h = 120`
en
`I = l*2h^2`
geeft
`I = 2h^2(120 - 8h) = 240h^2 - 16h^3`
.
`I'(x) = 480h - 48h^2 = 0`
geeft
`h = 0 ∨ h = 10`
, alleen
`h = 10`
levert een maximum op.
`h = 10`
betekent
`b = 20`
en
`l = 40`
, dus
`I = 8000`
cm3.
Zelfde procedure als bij a, maar met `l + 8h = p` geeft: `h = 1/12 p` , `b = 1/6 p` en `l = 1/3 p` . Inderdaad is dan `b = 2h` en `l = 4h` .
Bekijk de afbeelding voor een situatieschets.
Er is een maximale inhoud als `x = 8` en `h = 2` . De bedoelde afmetingen zijn `6 * 6 * 2` m.
Zie website. `x = (2 v_0)/g * sin(α)cos(α)` .
`x`
is maximaal als
`sin(α)cos(α)`
zo groot mogelijk is.
Maak hiervan een grafiek (
`α`
in graden) voor
`0 ≤ α ≤ 90^@`
. Bij
`45^@`
vind je het maximum.
De bijbehorende grootste hoogte is `(v_0)/(4g)` .
Nulpunten:
`f(x) = 0`
geeft
`x = text(-)1/2 ∨ x = ±2`
, dus
`(text(-)1/2, 0)`
,
`(text(-)2, 0 )`
en
`(2, 0 )`
.
Extremen:
`f'(x) = 6x^2 + 2x - 8 = 0`
geeft
`x = text(-)1 1/3 ∨ x = 1`
; max.
`f(text(-)1 1/3) = 3 19/27`
en min.
`f(1) = text(-)9`
.
`f(x) = g(x)`
geeft
`x = 0 ∨ x = ±2`
.
Oplossing:
`text(-)2 < x < 0 ∨ x > 2`
.
De lengte van
`AB`
is
`f(p) - g(p) = 2p^3 - 8p`
.
De oppervlakte van
`ΔOAB`
is
`text(-)p^4 + 4p^2 = 3`
geeft
`(p^2 - 3)(p^2 - 1) = 0`
.
Dit levert op
`p = text(-)sqrt(3) ∨ p = text(-)1`
.
Lijn door
`O`
heeft vergelijking
`y = ax`
. Raken aan de grafiek van
`f`
betekent
`a = f'(x)`
voor een bepaalde waarde van
`x`
.
Zo krijg je
`2x^3 + 4x^2 - 8x - 4 = x(6x^2 + 2x - 8)`
en dus
`4x^3 - 2x^2 + 4 = 0`
.
Deze vergelijking kun je alleen met de GR oplossen:
`x ≈ text(-)0,858`
.
Het raakpunt wordt ongeveer
`(text(-)0,858 ; 4,546 )`
en de vergelijking van de raaklijn wordt
`y = text(-)5,30 x`
.
(bron: examen wiskunde B vwo 1996, eerste tijdvak, aangepast)
als
`v = 17`
dan
`h = text(-)0,0185a^2 + 0,27a + 2,50`
.
`h'(a) = text(-)0,037a + 0,27 = 0`
geeft
`a ≈ 7,3`
.
Daarbij hoort een maximale hoogte van
`h ≈ 3,5`
m.
`150`
km/h komt overeen met
`41,67`
m/s.
Volgens de grafiek hoort daar een hoek bij van ongeveer
`text(-)5^@`
.
Bij de netsituatie: als
`a = 12`
dan
`h = 1`
.
Dit geeft:
`(text(-) 5,16)/(v^2)*12^2 + 0,18*12 + 2,50 = 1`
en dus
`(743,04)/(v^2) = 3,66`
en
`v ≈ 14,25`
. Conclusie:
`v ≤ 14,2`
(m/s) of
`v lt 14,3`
(m/s).
`7` meter voorbij het net betekent `a=19` en de grond raken betekent `h=0` .
(bron: examen wiskunde A vwo 2000, eerste tijdvak)
De breedte van de doos is
`b - 2x`
.
De inhoud van de doos is
`x(b - 2x)^2 = x(b^2 - 4bx + 4x^2) = 4x^3 - 4bx^2 + b^2x`
.
Er moet gelden: `I'(x) = 12x^2 - 8bx + b^2 = 0` .
Daaruit volgt `x = (8b ± sqrt(64b^2 - 48b^2))/24` en dit geeft `x = 1/6 b vv x = 1/2 b` .
De laatste oplossing vervalt.
De grafiek van `I'` is een dalparabool met nulpunten bij `x = 1/6 b vv x = 1/2 b` .
Met behulp van een tekenschema van `I'` blijkt dat er een maximum is bij `x = 1/6 b`
(bron: examen vwo wiskunde B in 2009, eerste tijdvak)