Het functievoorschrift is op te delen in een binnenste functie `g(x) = x - 2` en een functie daar omheen `f(g(x)) = 4(g(x))^3` , de buitenste functie.

Je kunt deze functie differentiëren door gebruik te maken van de eigenschappen van functies na transformaties. De basisfunctie waaruit `f` ontstaan is, is `y = x^3` met `(dy)/(dx) = 3x^2` .

Dit geeft `f'(x) = 4*3(x - 2)^2 * 1 = 12(x - 2)^2` .

Binnenste functie `g(x) = 3x-4` .

Buitenste functie `y = text(-)2(g(x))^5` .

Van deze functie kun je de afgeleide bepalen m.b.v. transformaties:
`(text(d)y)/(text(d)x) = 3*text(-)2*5(3x - 4)^4 = text(-)30(3x - 4)^4` .

Binnenste functie `g(x) = x^3 + 2x` .

Buitenste functie `y = 3(g(x))^4` .

Van deze functie kun je nog geen afgeleide bepalen.

Binnenste functie `g(x) = x^2 - 1` .

Buitenste functie `y = (g(x))^(1/2)` .

Van deze functie kun je nog geen afgeleide bepalen.

Binnenste functie `g(x) = 3 - x^2` .

Buitenste functie `y = (g(x))^(1 1/2)` .

Van deze functie kun je nog geen afgeleide bepalen.

Binnenste functie `g(x) = 2x - 7` .

Buitenste functie `y = (g(x))^(text(-)1)` .

Van deze functie kun je de afgeleide bepalen m.b.v. transformaties:
`(text(d)y)/(text(d)x) = text(-)2/((2x - 7)^2)`

Binnenste functie `g(x) = 3x - 2` .

Buitenste functie `y = text(-)4/5(g(x))^(text(-)3)` .

Van deze functie kun je de afgeleide bepalen m.b.v. transformaties:
`(text(d)y)/(text(d)x) = 36/(5(3x - 2)^4)`

De basisfunctie waaruit `f` is ontstaan is `y = x^4` met `(text(d)y)/(text(d)x) = 4x^3` .

`f'(x) = text(-)2*4*3(text(-)2x + 5)^3 = text(-)24(text(-)2x + 5)^3`

Neem `u = g(x) = text(-)2x + 5` met `g'(x) = text(-)2` .

Dan is `y = f(g(x)) = 3(g(x))^4` ofwel `y = f(u) = 3(u)^4` met `f'(g(x)) = f'(u) = 12(u)^3 = 12(text(-)2x+5)^3` .

Met de kettingregel krijg je dan:

`f'(x) = f'(g(x))*g'(x) = 12(text(-)2x + 5)^3 * text(-)2 = text(-)24(text(-)2x + 5)^3`

Het omschrijven naar de hulpvariabele `u` kun je ook achterwege laten.

`y = f(u) = (u)^8`

`u = g(x) = 2x^2 + 1`

`f'(x) = f'(u)*g'(x) = 8(u)^7 * 4x = 32x (2x^2 + 1)^7` .

`f'(x) = 4(x^2 - 100)^3 * 2x= 8x(x^2 - 100)^3`

`f'(x) = text(-)15 (5 + x^3)^4 * 3x^2 = text(-)45x^2 (5 + x^3)^4`

`f'(x) = 3(1 - x)^2 * text(-)1 = text(-)3(1 - x)^2`

`f'(x) = (x^3 + 2x)^2 * (3x^2 + 2)`

`f(x) = 5(3 - 2x^2)^(text(-)1)`

`f'(x) = text(-)5(3 - 2x^2)^(text(-)2) * text(-)4x = (20x)/((3 - 2x^2)^2)`

`g(x) = text(-)1(x^2 - 2)^(text(-)3)`

`g'(x) = 3(x^2 - 2)^(text(-)4) * 2x = (6x)/((x^2 - 2)^4)`

`h(x) = 3(2x + 3)^(1/2)`

`h'(x) = 3/2 (2x + 3)^(text(-)1/2) * 2 = 3/((2x + 3)^(1/2)) = 3/(sqrt(2x + 3))`

`j(x) = (x^2 + 3)(x^2 + 3)^(1/2) = (x^2 + 3)^(1 1/2)`

`j'(x) = 1 1/2 (x^2 + 3)^(1/2) * 2x = 3x sqrt(x^2 + 3)`

`h(x) = f(g(x)) = text(-)2(g(x))^4 = text(-)2(2x^3 + 4x)^4`

`h'(x) = 4*text(-)2(2x^3 + 4x)^3 * (6x^2 + 4) = text(-)8(2x^3 + 4x)^3 (6x^2 + 4)`

`k(x) = g(f(x)) = 2(f(x))^3 + 4(f(x)) = 2(text(-)2x^4)^3 + 4(text(-)2x^4) = text(-)16x^12 - 8x^4`

`k'(x) = text(-)192x^11 - 32x^3`

`f'(x) = 0 - 3(x^3 + 2)^2 * 3x^2 = text(-)9x^2(x^3 + 2)^2`

`f'(x) = text(-)4(x^3 - 5) * 3x^2 + 12x^2 = text(-)12x^2(x^3 - 5) + 12x^2`

`f(x) = text(-)x^(1/3) - (3+x^2)^(text(-)1)`

`f'(x) = text(-)1/3 x^(text(-)2/3) + (3+x^2)^(text(-)2) * 2x = (text(-)1)/(3x^(2/3)) + (2x)/(3+x^2)^2 = (text(-)1)/(3root[3](x^2)) + (2x)/(3+x^2)^2`

`f(x) = (sqrt(4-x))/(4-x) + 1/(4-x) = (4-x)^(text(-)1/2) + (4-x)^(text(-)1)`

`f'(x) = text(-)1/2 (4-x)^(text(-)1 1/2) * text(-)1 - (4-x)^(text(-)2) * text(-)1 = 1/(2 (4-x)^(1 1/2)) + 1/((4-x)^2) = 1/(2(4-x)sqrt(4-x)) + 1/((4-x)^2)`

Een wortelfunctie heeft een beperking aan het domein: `25 - x^2 ≥ 0` .

`25 - x^2 = 0` voor `x = text(-)5 ∨ x = 5` .

Uit de grafiek van de functie kun je aflezen dat `text(-)5 ≤ x ≤ 5` dus `D_f = [text(-)5, 5 ]` .

`f(x) = (25 - x^2)^(1/2)`

`f'(x) = 1/2 (25 - x^2)^(text(-)1/2) * text(-)2x = (text(-)x)/(sqrt(25 - x^2))`

`f'(3) = text(-)3/4` en `f(3) = 4` geeft voor de raaklijn `y = text(-)3/4 x + 6 1/4` .

Gebruik je GR met Y1=X+1/(2X-3) en venster bijvoorbeeld `[text(-)5, 5]xx[text(-)5, 5]` .

`f(x) = x + (2x-3)^(text(-)1)`

`f'(x) = 1 - (2x-3)^(text(-)2) * 2 = 1 - 2/((2x-3)^2) = 0` geeft `2/((2x-3)^2) = 1` en `4x^2 - 12x + 7 = 0` .

Hieruit volgt `x = 1 1/2 - 1/2 sqrt(2) vv x = 1 1/2 + 1/2 sqrt(2)` .

GR: min. `f(1 1/2 - 1/2 sqrt(2)) = 1 1/2 - sqrt(2)` en max. `f(1 1/2 + 1/2 sqrt(2)) = 1 1/2 + sqrt(2)` .

Plot een aantal lijnen met een richtingscoëfficiënt van `text(-)1` .

Twee van die lijnen kunnen de grafiek van `f` raken. Alle lijnen tussen deze raaklijnen hebben geen punten met `f` gemeen en daarvoor heeft `f(x) = text(-)x + b` dus geen oplossingen. Voor de raaklijnen geldt:

`f'(x) = text(-)1` en dus `1 - 2/((2x-3)^2) = text(-)1 ` .

Hieruit volgt `(2x-3)^2 = 1` en `(x-1)(x-2) = 0` dus `x = 1 vv x = 2` .

Er geldt `f(1) = 0` en de vergelijking van de onderste raaklijn is daarmee `y = text(-)x + 1` want `text(-)1*1 + b = 0` dus `b = 1` .

Er geldt `f(2) = 3` en de vergelijking van de onderste raaklijn is daarmee `y = text(-)x + 5` want `text(-)1*2 + b = 3` dus `b = 5` .

Voor `1 lt b lt 5` heeft `f(x) = text(-)x + b` geen oplossingen.

`f′(x) = 24x(x^2 - 10)^3`

`f'(x) = text(-)5(3 + 2x)(3x + x^2)^4`

`f'(x) = text(-)64x(4x^2 - 8) + 6x`

`f'(x) = text(-)4(1 - 12x^2)(x - 4x^3)^3 `

`f'(x) = text(-)6 (2x - 6)^2 < 0` voor elke waarde van `x` behalve `x = 3` .

`f'(x) = text(-)6 (2x - 6)^2`

`f''(x) = text(-)12 (2x - 6) * 2 = text(-)48x + 144`

`f''(3) = 0` en wisselt van teken voor `x = 3` , dus het klopt.

`f'(2) = text(-)24` en `f(2) = 12` , dus de vergelijking van de raaklijn door `x = 2` is `y = text(-)24x + 60` .

`y = 0` geeft `x = 2 1/2` en `P(2 1/2, 0)` .

`f(x) = 1/(2(3 + 2x^2)^(1/2)) = 1/2 (3 + 2x^2)^(text(-)1/2)`

`f'(x) = text(-)1/4 (3 + 2x^2)^(text(-)1 1/2) * 4x = (text(-)x)/((3 + 2x^2)^(1 1/2)) = (text(-)x)/((3 + 2x^2)sqrt(3 + 2x^2))`

`f(x) = text(-)2(4x + 5)^(1/3)`

`f'(x) = text(-)2/3 (4x + 5)^(text(-)2/3) * 4 = (text(-)8)/(3(4x + 5)^(2/3)) = (text(-)8)/(3root[3]((4x + 5)^(2)))`

`f(x) = 1/(sqrt(x^2 - 1)) - (sqrt(x^2 - 1))/(sqrt(x^2 - 1)) = (x^2 - 1)^(text(-)1/2) - 1`

`f'(x) = text(-)1/2 (x^2 - 1)^(text(-)1 1/2) * 2x = (text(-)x)/((x^2 - 1)^(1 1/2)) = (text(-)x)/((x^2 - 1)sqrt(x^2 - 1))`

`f(x) = (3x + 1)/(sqrt(3x+1)) + 1/(sqrt(3x+1)) = (3x+1)^(1/2) + (3x+1)^(text(-)1/2)`

`f'(x) = 1/2 (3x+1)^(text(-)1/2) * 3 - 1/2 (3x+1)^(text(-)1 1/2) * 3 = 3/(2(3x+1)^(1/2)) - 3/(2(3x+1)^(1 1/2)) = `
`3/(2sqrt(3x+1)) - 3/(2(3x+1)sqrt(3x+1))`

Bij deze functie moet `8 - x^2 ≥ 0` .

`8 - x^2 = 0` voor `x = text(-)2sqrt(2) vv x = 2sqrt(2)` .

Grafiek: `text(-)2sqrt(2) ≤ x ≤ 2sqrt(2)` dus `text(D)_f = [text(-)2sqrt(2), 2sqrt(2)]` .

Het minimum ligt op de rand van het domein: min. `f(text(-)2sqrt(2)) = text(-)2sqrt(2)` .
Het maximum bepaal je met behulp van differentiëren:

`f(x) = x + (8 - x^2)^(1/2)`

`f'(x) = 1 + 1/2 (8 - x^2)^(text(-)1/2) * text(-)2x = 1 - x/((8 - x^2)^(1/2)) = 1 - x/(sqrt(8 - x^2))`

`f'(x) = 1 - x/(sqrt(8 - x^2)) = 0` geeft `sqrt(8 - x^2) = x` en na kwadrateren `x = text(-)2 vv x = 2` ( `x = text(-)2` vervalt).

Je vindt: max. `f(2) = 4` . Het bereik wordt `text(B)_f = [text(-)2sqrt(2), 4]` .

`A = (text(-)2sqrt(2); text(-)2sqrt(2))` en `B = (2sqrt(2); 2sqrt(2))` .
De helling van lijn `AB` is gelijk aan `(Δy)/(Δx) = 1` .
Je moet daarom oplossen `f'(x) = 1 - x/(sqrt(8 - x^2))=1` en dat levert op `x = 0` .

Er moet gelden `2x - x^2 ≥ 0` .

`2x - x^2 = 0` voor `x = 0 ∨ x = 2` .

Uit de grafiek van de functie kun je aflezen dat `0 ≤ x ≤ 2` dus `D_f = [0 , 2]` .

`f(x) = (2x - x^2)^(1/2)`

`f'(x) = 1/2 (2x - x^2)^(text(-) 1/2) * (2 - 2x) = (1 - x)/(sqrt(2x - x^2))`

`f'(0,5) = (0,5)/(sqrt(0,75)) = 1/3 sqrt(3)` en `f(0,5) = 1/2 sqrt(3)` geeft voor de raaklijn `y = 1/3 x sqrt(3) + 1/3 sqrt(3)` .

In het hoogste punt geldt: `(text(d)y)/(text(d)x) = 0` .
Het hoogste punt bevindt zich in deel `OA` .

`y = 2x - 100 + 4(625 - 10x)^(1/2)`

`(text(d)y)/(text(d)x) = 2 + 2(625 - 10x)^(text(-)1/2)*text(-)10 = 2 - 20/((625 - 10x)^(1/2)) = 2 - 20/(sqrt(625 - 10x)) = 0`
`20/(sqrt(625 - 10x)) = 2` geeft `625 - 10x = 100` .
Dus `10x = 525` en `x = 52,5` .
De hoogte is maximaal voor `x = 52,5` en is gelijk aan `45` m.

In punt `A` geldt: `2x - 100 + 4sqrt(625 - 10x) = 2x - 100 - 4sqrt(625 - 10x)` en ` 8sqrt(625 - 10x) = 0` zodat `x = 62,5` .

De vuurpijl komt op de grond bij het tweede deel `AB` van de baan.

Er geldt dan `2x - 100 - 4sqrt(625 - 10x) = 0` .
En `2x - 100 = 4sqrt(625 - 10x)` geeft `(2x - 100)^2 = 16(625 - 10x)` .

Deze vergelijking herleiden tot `4x^2 - 240x = 0` geeft `x = 60` , dus de vuurpijl komt `60` m vanaf `O` op de grond.

`600 * 30 + 500 * 70 = 53000` euro.

`sqrt(600^2 + 500^2)*70 ≈ 54671,75` euro.

`K(x) = 30(600 - x) + 70sqrt(500^2 + x^2)`

De minimale kosten vind je met `K'(x) = text(-)30 + (70x)/(sqrt(500^2 + x^2)) = 0` .
Dit geeft `sqrt(500^2 + x^2) = 7/3 x` en na kwadrateren `40/9 x^2 = 250000` . Je vindt dan `x ≈ 237` .
Je kunt dus het beste eerst `363`  m langs de straat graven en daarna door het veld recht naar `C` graven. De minimale kosten bedragen € 49622,76.

`f'(x) = 36x (1 + x^2)^2`

`y'(x) = text(-)16 (1 - 4x)^3`

`R'(t) = (7,5)/(π sqrt(15/π t)) = 15/(2π sqrt(15/π t))`

`f'(x) = (4x)/(sqrt(10 + 4x^2))`

`K'(p) = text(-)3/(p^2 sqrt(p))`

`f'(x) = 3x^2 + 2 + 3/(2x sqrt(x)) - 2/(x^3)`

`text(D)_f = [text(-)2 , →〉`

`f'(x) = 2 - 1/(2 sqrt(x + 2))`

Min. `f(text(-)1 15/16) = text(-)4 1/8` .

`text(B)_f = [text(-)4 1/8, →〉`