Differentieerregels > De kettingregelTheorie
Een samengestelde functie is een functie die uit twee of meer geschakelde functies bestaat.
Voor een samengestelde functie geldt bijvoorbeeld `f(x) = f(g(x))` .
De afgeleide van `f(x) = f(g(x))` is `f'(x) = f'(g(x))*g'(x)` .
Deze regel voor de afgeleide van een samengestelde functie heet de kettingregel.
Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is `f'(x) = lim_(h → 0) (f(x+h) - f(x))/h` .
Voor
`f(x) = f(g(x))`
geldt:
`f'(x) = lim_(h → 0) (f(g(x+h)) - f(g(x)))/h`
en voor
`g'(x) = lim_(h → 0) (g(x+h) - g(x))/h`
.
Uit deze laatste definitie volgt voor waarden van `h` dicht bij `0` : `g(x+h) - g(x) ~~ h*g'(x)` .
En daarom: `g(x+h) ≈ g(x) + h*g'(x)` .
Zodat: `f'(x) = lim_(h → 0) (f(g(x) + h*g'(x)) - f(g(x)))/h = lim_(h → 0) (f(g(x) + h*g'(x)) - f(g(x)))/(h*g'(x))*g'(x)` .
Stel `h*g'(x) = p` .
Als `h rarr 0` , dan ook `p rarr 0` (als `g'(x)` bestaat).
Dus `f'(x) = lim_(p → 0) (f(g(x) + p) - f(g(x)))/p * g'(x) = f'(g(x)) * g'(x)` .