De toename van `A(x)` kun je `Delta A(x)` noemen en hij bestaat uit drie driehoekjes.
De oppervlakte van die drie driehoekjes is `ΔA(x) = f(x)*Δg(x) + g(x)*Δf(x) - Δf(x)*Δg(x)` .

Hierin is `Delta f(x) = f(x+h) - f(x)` en `Delta g(x) = g(x+h) - g(x)` .

Omdat `f(x+h) - f(x) = 0` als `h = 0` .

`A'(x) = f(x)*g'(x) + g(x)*f'(x)`

`A'(x) = f(x)*g'(x) + g(x)*f'(x) = x^2*3x^2 + x^3*2x = 5x^4`

Controle: `A(x) = x^5` geeft `A'(x) = 5x^4` .

`A'(x) = f(x)*g'(x) + f'(x)*g(x) = x^2*(3x^2 - 4) + 2x*(x^3 - 4x) = 5x^4 - 12x^2`

`A(x) = x^5 - 4x^3` geeft ook `A'(x) = 5x^4 - 12x^2`

`P'(x) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x) = 3x^2*(0,5x^4 - 4x) + (x^3 + 4)*(2x^3 - 4) =` ` 3,5x^6 - 8x^3 - 16`

Nu is `f(x) = u(x)*v(x)` en dus is
`f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x) = 12x^3*(6x^2 - 2x^3) + 3x^4*(12x - 6x^2) = 108x^5 - 42x^6`

Je kunt bij beide functies ook eerst de haakjes wegwerken. Ga na dat je dan dezelfde afgeleiden krijgt.

Nu is `g(x) = u(x)*v(x) = (x^2 + 1)*(2x + 1)^(1/2)` en dus is
`g'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x) = 2x*(2x + 1)^(1/2) + (x^2 + 1)*1/2(2x + 1)^(text(-)1/2)*2 = `
` = 2x sqrt(2x + 1) + (x^2 + 1)/(sqrt(2x + 1))`

Je hebt dus behalve de productregel nu ook de kettingregel nodig.

`P'(x) = 2x(x + 10)^3 + 3(x^2 + 5)(x + 10)^2`

Omdat je de nulpunten van een functie vindt door de functie te ontbinden in factoren. Als je eerst alle haakjes wegwerkt, dan lukt dit waarschijnlijk niet meer.

`P'(x) = (3x^2 + 15)(x + 10)^2 + 2x(x + 10)(x + 10)^2 = 0` geeft `(5x^2 + 20x + 15)(x + 10)^2 = 0` en `text(-)10 vv x = text(-)3 vv x = text(-)1` .

GR: min. `f(text(-)3) = 4802` en max. `f(text(-)1) = 4374` .

`f(x) = (x^2 - 1)(4 - x^2)^(1/2)`

`f'(x) = 2x*(4 - x^2)^(1/2) + (x^2 - 1)*1/2(4 - x^2)^(text(-)1/2)*text(-)2x = 2 xsqrt(4 - x^2) + (text(-)x^3 + x)/(sqrt(4 - x^2)) = (9x - 3x^3)/sqrt(4 - x^2)`

`f'(x) = 0` geeft `(9x - 3x^3)/sqrt(4 - x^2) = 0` en dus `9x - 3x^3 = 0 ∧ x^2 ≠ 4` ofwel `3x(3 - x^2) = 0` dus `x = 0 vv x = text(-)sqrt(3 ) vv x = sqrt(3)` .

Uit de grafiek van `f` kun je aflezen dat daar inderdaad extremen zijn en wel:
max. `f(text(-)sqrt(3) ) = 2` , min. `f(0) = text(-)2` en max. `f(sqrt(3)) = 2` .

`f'(1) = 6/(sqrt(3)) = 2sqrt(3)`

`f'(x) = 2x*(x + 3) + (x^2 - 4)*1 = 3x^2 + 6x - 4`

Eerst haakjes wegwerken kan ook:

`f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12` geeft `f'(x) = 3x^2 + 6x - 4`

Geen productregel, maar kettingregel:

`f'(x) = 12(x^2 - x)^2*(2x - 1) = 12(2x - 1)(x^2 - x)^2`

`f'(x) = 3*(x + 5)^4 + 3x*4(x + 5)^3*1 = 3(x + 5)^4 + 12x(x + 5)^3 = (15x + 15)(x + 5)^3`

`f(x) = text(-)10x*(x + 1)^(1/2)`

`f'(x) = text(-)10*(x + 1)^(1/2) - 10x*1/2(x + 1)^(text(-)1/2)*1 = text(-)10sqrt(x + 1) - (5x)/(sqrt(x + 1)) = (text(-)15x - 10)/(sqrt(x + 1))`

`f'(x) = text(-)6x^2*(4x + x^2)^2 + text(-)2x^3*2(4x + x^2)*(4 + 2x) = (4x + x^2)(text(-)40x^3 - 14x^4)`

`f(x) = text(-)x*(5 + x^2)^(1/2)`

`f'(x) = text(-)1*(5 + x^2)^(1/2) - x*1/2(5 + x^2)^(text(-)1/2)*2x = text(-)sqrt(5 + x^2) - (x^2)/(sqrt(5 + x^2)) = (text(-)2x^2 - 5)/(sqrt(5 + x^2))`

`f` heeft dezelfde nulpunten als `y_1` en `y_2` , dus `(0 , 0 )` en `(4 , 0 )` .

`f'(x) = x^2*4(x - 4)^3 + (x - 4)^3*2x = 4x^2(x - 4)^3 + (2x^2 - 8x)(x - 4)^3 = (6x^2 - 8x)(x - 4)^3`

`f'(x) = 0` geeft `x = 0 ∨ x = 1 1/3 ∨ x = 4` .

Met behulp van de grafiek van `f` vind je min. `f(0) = 0` , max. `f(1 1/3) = 89655/729` en min. `f(4) = 0` .

`y=k` zijn alle horizontale lijnen. De horizontale lijnen tussen de minima en het maximum van `f` snijden de grafiek van `f ` vier keer. Dat is dus voor: `0 < k < 89655/729` .

`f''(x) = (6x^2 - 8x)*3(x - 4)^2 + (x - 4)^3*(12x - 8) = `
` = (18x^2 - 24x)(x - 4)^2 + (12x^2 - 56x + 32)(x - 4)^2 = (30x^2 - 80x + 32)(x - 4)^2` .

`f''(x) = 0` geeft `x = 1 1/3 - 4/15 sqrt(10) ∨ x = 1 1/3 + 4/15 sqrt(10) ∨ x = 4` .

Uit de grafiek van `f` kun je aflezen dat er voor de laatste oplossing geen buigpunt is.

`f'(x) = 6sqrt(x)*(1 - x^3) + 4x sqrt(x)*text(-)3x^2 = 6 sqrt(x)(1 - 3 x^3) = 0` als `x = 0 ∨ x^3 = 1/3` .
Er zijn twee waarden van `x` waarin de raaklijn evenwijdig loopt met de `x` -as, namelijk `x = 0` en `x = root[3](1/3)` .

Op de rand van het domein heeft deze functie een min. `f(0) = 0` .
En verder is er een max. `f(root[3](1/3)) ≈ 1,54` .

`f(x) = 0` geeft `x = text(-)2sqrt(2)` , `x = 0` en `x = 2sqrt(2)`

`f(x) = x*(8 - x^2)^(1/2)`

`f'(x) = 1*(8 - x^2)^(1/2) + x*1/2(8 - x^2)^(text(-)1/2)*text(-)2x = sqrt(8 - x^2) - (x^2)/(sqrt(8 - x^2)) = (8 - 2x^2)/(sqrt(8 - x^2))`

`f'(x) = 0` geeft `x = text(-)2 vv x = 2` .

Je vindt min. `f(text(-)2) = text(-)4` en max. `f(2) = 4` . Dus `text(B)_f = [text(-)4, 4]` .

`y = px` zijn alle lijnen (behalve de verticale) door de oorsprong. De raaklijn van `f` door de oorspong heeft maar één punt met `f` gemeen. Dat is voor `p = f'(0) = 2sqrt(2)` .

Uit de grafiek lees je vervolgens af: `0 le p lt 2sqrt(2 )` .

`f'(x) = 2*(x-3)(x+1)^2 + (x-3)^2*2*(x+1) = 2*(x-3)(x+1)^2 + 2(x-3)^2(x+1)`

`f'(2) = text(-)12` en `tan(α)=text(-)12` geeft `α ~~ text(-)85^@` .

`f(x) = (x-3)^2(x+1)^2` , dus `f(0) = (0-3)^2(0+1)^2 = 9 = b` .
`f'(0) = 12` , dus de hoek met de positieve `x` -as is `arctan(12)~~85^@` .
De hoek met de `y` -as is daarom `5^@` .

`f(0) = 0(2*0 + 3)^2 = 0` dus het snijpunt is `O(0, 0)` .

`f(x) = x(2x + 3)^2`
`f'(x) = 1*(2x + 3)^2 + x*2*(2x + 3)*2 = (2x + 3)^2 + 4x(2x + 3) = 4x^2 + 12x + 9 + 8x^2 + 12x = 12x^2 + 24x + 9`
`f'(0) = 12*0^2 + 24*0+9 = 9`

Het product van de richtingscoëfficiënten moet `text(-)1` zijn, dus `a*9 = text(-)1` , zodat `a = text(-)1/9` . (Zie het eerste onderwerp van het domein "Meetkunde met coördinaten" .)

Het snijpunt is `O(0, 0)` dus `b = 0` .

`f'(x) = (6 + 42x^2)(1 + x^2)^2`

`f'(x) = (1 - 2x^2)/(sqrt(1 - x^2))`

`f'(x) = 6sqrt(4x - 1)`

`f'(x) = ((9x^2 - 5x - 2)(1 + x)^2)/(2sqrt(x - 1))`

`x = 0 vv x = 4` .

Max. `f(1) = 1` en min. `f(4) = 0` .

Het buigpunt wordt `(2,25 ; 0,5625)` .

`a = 27/4`