Met behulp van eenvoudige functies kun je gemakkelijk nagaan dat voor het product van twee functies geen voor de hand liggende regels gelden:

• Als `f(x) = 3x` dan is `f'(x) = 3` .

• Als `g(x) = x^2` dan is `g'(x) = 2x` .

De productfunctie van `f` en `g` is dan: `P(x) = f(x)*g(x) = 3x * x^2 = 3x^3` . De afgeleide daarvan is `P'(x) = 9x^2` en niet `P'(x) = f'(x)*g'(x) = 3*2x = 6x` , zoals je zou kunnen denken. Voor productfuncties geldt een speciale regel: de productregel.

Bekijk de figuur. Als lengte en breedte van een rechthoek functies van `x` zijn, is de oppervlakte `A(x)` zo'n productfunctie: `A(x) = f(x)*g(x)` .

De afgeleide van `A(x)` is volgens de definitie:
`A'(x) = lim_(h rarr 0) (A(x+h) - A(x))/(h)` .

Als `x` toeneemt tot `x+h` dan is de toename van de oppervlakte:

`A(x+h) - A(x)=`
`=f(x)*(g(x+h) - g(x)) + g(x)*(f(x+h) - f(x))+` `(f(x+h) - f(x))*(g(x+h) - g(x))`

Dus is
`(A(x+h) - A(x))/h = f(x)*(g(x+h) - g(x))/h + g(x)*(f(x+h) - f(x))/h +` `(f(x+h) - f(x))*(g(x+h) - g(x))/h`

Neem je de limiet voor `h rarr 0` , dan krijg je:
`A'(x) = lim_(h → 0) (f(x)*(g(x+h) - g(x))/h + g(x)*(f(x+h) - f(x))/h + (f(x+h) - f(x))*(g(x+h) - g(x))/h)=`
`= f(x)*lim_(h → 0) (g(x+h) - g(x))/h + g(x)*lim_(h → 0) (f(x+h) - f(x))/h + 0 = f(x)*g'(x) + g(x)*f'(x)` .

Voor de gegeven functie `P(x) = f(x)*g(x) = 3x * x^2` betekent dit:

`P'(x) = f(x)*g'(x) + g(x)*f'(x) = 3x*2x + x^2*3 = 9x^2` .