Voor de afgeleide van een product van twee functies geldt de productregel:
Als
`p(x) = f(x)*g(x)`
dan geldt
`p'(x) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)`
Bekijk vóór je deze regel gaat gebruiken of je bijvoorbeeld een product van machtsfuncties gaat differentiëren en of je dan de haakjes kunt wegwerken. Dat kan je werk besparen.
Bekijk de figuur.
Als lengte en breedte van een rechthoek functies van `x` zijn, is de oppervlakte `A` een productfunctie in `x` : `A(x) = f(x)*g(x)` .
Je kunt de oppervlakte van deze rechthoek vergroten door `x` te laten toenemen met `Δx` .
De nieuwe oppervlakte is dan in de lengte vergroot met `Δf(x)` en in de breedte met `Δg(x)` .
De toename van de oppervlakte bestaat uit de donkerder rechthoekjes met een oppervlakte van respectievelijk: `f(x)*Δg(x)` , `g(x)*Δf(x)` en ` Δf(x)*Δg(x)` .
De gemiddelde toename van deze oppervlakte is:
`(ΔA(x))/(Δx) = (f(x)*Δg(x) + g(x)*Δf(x) + Δf(x)*Δg(x))/(Δx) = f(x)*(Δg(x))/(Δx) +
g(x)*(Δf(x))/(Δx) + Δf(x)*(Δg(x))/(Δx)`
Op het interval
`[x, x+h]`
wordt dit differentiequotiënt:
`(A(x+h) - A(x))/h = `
`f(x)*(g(x + h) - g(x))/h + g(x)*(f(x + h) - f(x))/h + (f(x + h) - f(x))*(g(x + h)
- g(x))/h`
De limiet van
`(A(x+h) - A(x))/h`
voor
`h`
naar
`0`
is gelijk aan
`A'(x)`
:
`A'(x) = `
`lim_(h → 0) (f(x)*(g(x + h) - g(x))/h + g(x)*(f(x + h) - f(x))/h + (f(x + h) - f(x))*(g(x
+ h) - g(x))/h)`
`A'(x) = f(x)*g'(x) + g(x)*f'(x) + 0*g'(x)`
Daarmee wordt de afgeleide van `A(x)` : `A'(x) = f(x)*g'(x) + g(x)*f'(x)` .