`f'(x) = 4,5x^2` en `g'(x) = text(-)1/(x^2)`

`h'(x) = 1/(x^2+1) - (2x^2)/((x^2+1)^2) = (x^2+1)/((x^2+1)^2) - (2x^2)/((x^2+1)^2) = (text(-)x^2+1)/((x^2+1)^2)`

`h'(x)= (1*(x^2+1) - x*2x)/((x^2+1)^2) = (text(-)x^2+1)/((x^2+1)^2)`

Er geldt:

`f(x) = x` met `f'(x) = 1` en
`g(x) = x-2` met `g'(x) = 1` .

`q'(x) = (1*(x-2) - x*1)/((x-2)^2) = (text(-)2)/((x-2)^2)`

Met behulp van de productregel en de kettingregel had je gevonden:

`q′(x) = 1/(x-2) - x/((x-2)^2)`

Als je deze twee breuken gelijknamig maakt en bij elkaar optelt, krijg je:

`(x-2)/((x-2)^2) - x/((x-2)^2) = (text(-)2)/((x-2)^2)`

`f'(x) = (1*x - (x+1)*1)/(x^2) = text(-)1/(x^2)`

`f(x) = 1 + x^(text(-)1)` geeft `f'(x) = text(-)x^(text(-)2) = text(-)1/(x^2)` .
Als je handig bent met machten gaat de tweede manier bijna uit het hoofd.

Uitdelen is hier handiger. Je krijgt: `f(x) = x/x + 4/x = 1 + 4x^(text(-)1)` .

Differentiëren geeft: `f'(x) = text(-)4x^(text(-)2) = (text(-)4)/(x^2)` .

Als de teller of de noemer een constante is, dan is het gebruik van de quotiëntregel altijd zonde van je tijd.

`f(x) = 4(x^2 + 3)^(text(-)1)` geeft `f'(x) = text(-)4(x^2 + 3)^(text(-)2)*2x = (text(-)8x)/((x^2 + 3)^2)`

Bij deze functie is het gebruik van de quotiëntregel of de productregel noodzakelijk.

Je krijgt met de quotiëntregel: `f'(x) = (1*(x^2 + 3) - x*2x)/((x^2 + 3)^2) = (3 - x^2)/((x^2 + 3)^2)` .

Met de productregel:

`f(x) = x*(x^2+3)^(text(-)1)` geeft `f(x) = 1*(x^2 + 3)^(text(-)1) + x*text(-)1*(x^2 + 3)^(text(-)2)*2x = (x^2 + 3)/((x^2 + 3)^2) - (2x^2)/((x^2 + 3)^2) = (text(-)x^2 + 3)/((x^2 + 3)^2)`

Deze functie kun je ook uitdelen, maar daarvoor moet je wel eerst een kunstgreep uithalen.

`f(x) = (x + 3 - 3)/(x + 3) = (x + 3)/(x + 3) - 3/(x + 3) = 1 - 3(x + 3)^(text(-)1)`

Dit geeft: `f'(x) = 3(x + 3)^(text(-)2) = 3/((x + 3)^2)`

Met de quotiëntregel differentiëren had waarschijnlijk niet veel in tijd uitgemaakt.

`f'(x) = (1*(x+3) - x*1)/((x+3)^2) = 3/((x+3)^2)`

`f’(x) = (1/2 x^(text(-)1/2)*(x+3) - sqrt(x)*1)/((x+3)^2)`

`f'(x) = 1/(2sqrt(x)*(x+3)) - sqrt(x)/((x+3)^2)`

`f(x) = sqrt(x) + 3x^(text(-)1/2)`

`f'(x) = 1/(2sqrt(x)) - 3/(2x sqrt(x))`

`f'(x) = (6x*(2x + 1) - (3x^2 - 4)*2)/((2x + 1)^2) = (6x^2 + 6x + 8)/((2x + 1)^2)`

`f(x) = 4(x - 2)^(text(-)2)` geeft `f'(x) = text(-)8(x - 2)^(text(-)3) = (text(-)8)/((x - 2)^3)`

`f(x) = (3x - 1)/((4 + x^2)^(1/2))` geeft:

`f'(x) = (3*(4 + x^2)^(1/2) - (3x - 1)*1/2(4 + x^2)^(text(-)1/2)*2x)/(((4 + x^2)^(1/2))^2) = (3sqrt(4 + x^2) - (x(3x - 1))/(sqrt(4 + x^2)))/(4 + x^2)`

Om de breuk uit de breuk te halen mpet je teller en noemer vermenigvuldigen met `sqrt(4+x^2)` .

Je krijgt dan:

`f'(x) = (3(4+x^2) - x(3x-1))/((4+x^2)sqrt(4+x^2)) = (12 + x)/((4+x^2)sqrt(4+x^2))`

Schrijf eerst `f(x)= ((x+1)(x-1))/(x+1) = x - 1` (als `x ≠ text(-)1` ).
Dan is `f'(x) = 1` (als `x ≠ text(-)1` ).

`f'(x) = (3x^2*3(x+3)^2 - (x+3)^3*6x)/((3x^2)^2) = ((3x^2 - 18x)(x + 3)^2)/(9x^4) = ((x - 6)(x + 3)^2)/(3x^3)`

`f'(x) = ((x - 6)(x + 3)^2)/(3x^3) = 0` geeft `x = text(-)3 vv x = 6` .
Met behulp van de grafiek vind je: min. `f(6) = 6 3/4`

`f'(text(-)3) = 0` dus `f` heeft voor `x = text(-)3` een horizontale raaklijn maar omdat `f` voor `x = text(-)3` een dubbel nulpunt heeft, wisselt `f'` niet van teken en dus heeft de grafiek van `f` er een buigpunt.

`f'(x) = (1*(x^2-16x) - (x+1)*(2x-16))/((x^2-16x)^2) = (text(-)x^2 - 2x + 16)/((x^2 - 16x)^2)`

`f(x) = x^2/(2x)-10/(2x) = 1/2 x - 5x^(text(-)1)`

`f'(x) = 1/2 + 5x^(text(-)2) = 1/2 + 5/(x^2)`

`f'(x) = (2*(x^2-10) - 2x*2x)/((x^2-10)^2) = (text(-)2x^2-20)/((x^2-10)^2)`

`f(x) = text(-)4(1-3x^2)^(text(-)1)`

`f'(x) = 4(1-3x^2)^(text(-)2)*text(-)6x = (text(-)24x)/((1-3 x^2)^2)`

`f'(x) = (10*(x^2-10) - (10x-40)*2x)/((x^2-10)^2) = (text(-)10x^2 + 80x - 100)/((x^2-10)^2)`

`f'(x) = 0` geeft `x = 4-sqrt(6) vv x = 4+sqrt(6)` .

Met behulp van de grafiek vind je:
min. `f(4-sqrt(6)) = 1/2 sqrt(6) + 2` en max. `f(4+sqrt(6)) = text(-)1/2 sqrt(6) + 2` .

Je krijgt: `(10x-40) = (text(-)x+4)(x^2-10)` en dat geeft `x^2(4-x) = 0` en dus `x = 0` (dubbel nulpunt) ` ∨ x = 4` .

De oplossing suggereert dat de lijn `y = text(-)x + 4` de grafiek van `f` snijdt in het punt `(4, 0)` en raakt in het punt `(0, 4)` . `f'(0)=text(-)1` bevestigt dit.

`f'(x) = (3sqrt(3)*(x^2-1)^(1/2) - 3x sqrt(3)*1/2(x^2-1)^(text(-)1/2)*2x)/(((x^2-1)^(1/2))^2) + 1`

Teller en noemer van de eerste term vermenigvuldigen met `sqrt(x^2 - 1)` levert

`f'(x) = ((x^2-1)3sqrt(3) - 3x^2 sqrt(3))/((x^2-1)sqrt(x^2-1)) + 1 = (text(-)3sqrt(3))/((x^2-1)sqrt(x^2-1)) + 1`

`f'(x) = 0` geeft `sqrt(x^2-1)(x^2-1) = 3sqrt(3)` en `x^2-1 = 3` dus `x = text(-)2 vv x = 2 ` .

Grafiek: min. `f(2) = 8` .

Je hebt twee onbekenden, `x_A` en `b` .

Punt `A` ligt zowel op `f` als op `l` .

Je kunt dus twee vergelijkingen opstellen.

• `f(x_A) = (3x_A sqrt(3))/sqrt(x_A^2 - 1) + x_A = x_A + 1/2 b`

• `l(x_A) = ((text(-)3sqrt(3))/((x_A^2 - 1)sqrt(x_A^2 - 1)) + 1)x_A + b = x_A + 1/2 b`

`1/2 b` isoleren uit de eerste vergelijking en substitueren in de tweede vergelijking geeft:

`((text(-)3sqrt(3))/((x_A^2-1)sqrt(x_A^2-1))+1)x_A = x_A-(3x_A sqrt(3))/sqrt(x_A^2-1)`

Met haakjes wegwerken krijg je:

`(text(-)3x_Asqrt(3))/((x_A^2-1)sqrt(x_A^2-1)) = (text(-)3x_Asqrt(3))/sqrt(x_A^2-1)` en dus `(text(-)3x_Asqrt(3))/sqrt(x_A^2-1) = 0 ∨ 1/(x_A^2-1) = 1` .

Dit laatste geeft `x_A = 0` (vervalt) `vv x_A = text(-)sqrt(2)` (vervalt) `vv x_A = sqrt(2)` .

De coördinaten van `A` zijn daarmee `(sqrt(2), sqrt(2)+3sqrt(6))` .

`P(R) = (144R)/((R+12)^2)`

`P'(R) = (text(-)144R + 1728)/((R+12)^3) = 0` geeft `R = 12` ohm.
Uit de grafiek van `P` kun je afleiden dat het maximaal ontwikkelde vermogen `P(12) = 3` watt is.

Stel de breedte is `x` cm, dan is de lengte `4 x` cm. En dan is `4x^2 h = 1000` dus `h = 250/(x^2)` .
Hieruit volgt voor de lengte `L` van het lint: `L(x) = 10x + 1000/(x^2)` .

`L'(x) = 10 - 2000/(x^3) = 0` geeft `x^3 = 200` en dus `x ≈ 5,8` cm.
Met behulp van de grafiek van `L` of een tekenschema van `L'` zie je dat `L` een minimum heeft voor `x ≈ 5,8` . De afmetingen van het doosje zijn dan: `5,8 * 23,4 * 7,3` (in cm).

`f'(x) = 7/((1-x)^2)`

`f'(x) = (text(-)πx^2)/((1+x^3)^2)`

`f'(x) = (x+1)^(text(-)2) = 1/((x+1)^2)`

`f'(x) = (3+x)/((1+x^2)sqrt(1+x^2))` .

Min. `f(text(-)sqrt(2 )) = text(-)5 sqrt(2 )` en max. `f(sqrt(2 )) = 5 sqrt(2 )` .

`f''(x) = (5x^3 - 30x)/((0,5x^2 + 1)^3)`

De buigpunten zijn `(text(-)sqrt(6 ); text(-)2,5 sqrt(6))` , `(0, 0)` en `(sqrt(6 ); 2,5 sqrt(6))` .