Differentieerregels > Differentieerbaarheid
1234567Differentieerbaarheid

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Dat lukt niet.

b

De afgeleide van is en bestaat niet.

c

Er is een verticale raaklijn met de vergelijking .

Opgave 1
a

Dit betekent dat de afgeleide waarde voor niet bestaat.

b

De afgeleide van is: .

heeft geen betekenis, want dan deel je door .

De functie is dus niet differentieerbaar voor .

c

Naarmate je vanaf de bovenkant dichter bij het randpunt komt, wordt de grafiek steeds steiler. De raaklijn in is verticaal, dat wil zeggen dat de raaklijn de vergelijking heeft.

Opgave 2
a

Voor is en .

b

Voor is en .

c

De hellingswaarden links en rechts van verschillen van elkaar, voor heeft de helling geen eenduidige waarde.

d

Voor is en .
Voor is en .
Zowel links van als rechts van nadert het getal naarmate je dichter bij komt. Dus ja, de functie is differentieerbaar.

Opgave 3
a

Beide functies hebben geen afgeleide waarde voor .

b

Omdat een functiewaarde heeft voor , namelijk . De raaklijn aan heeft daar de vergelijking .
bestaat echter niet. De grafiek van heeft een verticale asymptoot voor , geen raaklijn.

Opgave 4
a

en

b

en

c

en

d

De functie is niet differentieerbaar voor hoewel dit getal wel in het domein zit. Naarmate je van de onderkant èn van de bovenkant dichter bij het punt komt, wordt de grafiek steeds steiler. In dit punt heeft de grafiek een verticale raaklijn, toch is niet differentieerbaar omdat zelf niet bestaat.

Opgave 5
a

Voor functie geldt:

Als is en dus

Als is en en

Bekijk je nu het punt dan zie je dat het hellingsgetal wordt als je van links naar nadert, terwijl het hellingsgetal wordt als je van rechts naar gaat. Omdat beide hellingen verschillend zijn, is er sprake van een knikpunt.

Evenzo bij het punt , het hellingsgetal is als je van links naar nadert en als je van rechts naar gaat. Omdat ook deze beide hellingen verschillend zijn, is ook hier sprake van een knikpunt.

De grafiek van heeft dus een knik bij en . De functie van is daar dus niet differentieerbaar.

b

Voor functie geldt:

Als is en dus

Als is en en

Bekijk je nu het punt dan zie je dat het hellingsgetal wordt als je van links naar nadert, terwijl het hellingsgetal wordt als je van rechts naar gaat. Omdat beide hellingen verschillend zijn, is er sprake van een knikpunt.

De grafiek van heeft dus een knik bij . De functie van is daar dus niet differentieerbaar.

Opgave 6
a

als

De functie heeft een perforatie voor en is dus voor die -waarde niet differentieerbaar.

De functie heeft een verticale asymptoot voor en is dus voor die -waarde niet differentieerbaar.

b

Voor is en voor is

De functie heeft een sprong voor en is dus voor die -waarde niet differentieerbaar.

c

als , als en als

De functie heeft een sprong voor en is dus voor die -waarde niet differentieerbaar. De functie heeft een knik voor en is dus voor die -waarde niet differentieerbaar.

Opgave 7

De grafiek van vertoont bij geen sprong, want
De afgeleide is:

Bekijk je nu het punt dan zie je dat het hellingsgetal is, want . En als je het punt van links benadert dan zie je dat het hellingsgetal ook wordt, want . Beide hellingen zijn hetzelfde. Er is daarom geen knikpunt en is daarom gewoon differentieerbaar voor .

Opgave 8
a

is een wortelfunctie en heeft als domein . De punten en zijn randpunten. In de randpunten is niet differentieerbaar.

b

De functie is een modulusfunctie en kan een knikpunt hebben waar .
Dat is het geval als: .

Uit de limieten van de afgeleide kun je aflezen dat inderdaad bij en knikpunten heeft.
is daar dus niet differentieerbaar.

c

De functie is een gebroken functie met een asymptoot voor . bestaat niet voor (en is er daarom ook niet differentieerbaar). Bovendien is de functie een wortelfunctie met domein . Het punt is een randpunt van . De functie is niet differentieerbaar in dit punt.

d

De grafiek van heeft een knikpunt waar .
De coördinaten van het knikpunt zijn . In het knikpunt is niet differentieerbaar.

Opgave 9

Als , dan is en , zodat .
Als , dan is en , zodat .
De twee richtingscoëfficiënten zijn daarom en .

Opgave 10
a

bestaat niet voor , dus is niet differentieerbaar voor .

b

geeft en dus .

is niet differentieerbaar in maar bestaat daar wel en heeft er ook een extreme waarde.
Met behulp van de grafiek van vind je: min. en max..

c

en .
Er geldt of .
De richtingscoëfficiënt van lijn is dan of .

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn van voor is daarmee of .

Dit geeft en of en .

Opgave 11
a

is differentieerbaar voor elke waarde van en voor elke waarde van .

De vraag is daarmee of ook differentiierbaar is voor .

Als , dan is en , zodat .
Als , dan is en .

Er geldt , dus de grafiek maakt geen sprong.

Ook geldt dat , en daarmee is differentieerbaar voor .

b

Er moet gelden dat er geen sprake is van een sprong dus èn dat er geen sprake is van een knik dus .

Dit geeft dan en dus en .

Opgave 12
a

is een gebroken functie. bestaat niet voor die waarden van die de noemer maken.

Er geldt geeft .

Er geldt: voor .

En voor .

is niet differentieerbaar voor .

b

en

De functie bestaat niet voor , maar links van is de helling van de grafiek gelijk aan rechts van . De grafiek van heeft daarom een perforatie voor (en een verticale asymptoot voor ).

Opgave 13Startende fietser
Startende fietser
a

m en m.
Beide zijn gelijk.

b

Als dan is m/s.
Als , dan is en m/s.
Ook nu zijn beide gelijk.

c

Als dan is m/s2.
Als , dan is m/s2.
De eerste vijf seconden moet de fietser een behoorlijke kracht leveren om "op snelheid" te komen. Daarna moet hij alleen nog een kracht leveren om de wrijving met het wegdek of eventuele tegenwind te compenseren.

Opgave 14
a

b

Opgave 15
a

b

en

c

min. , max. en min.

verder | terug