Dit betekent dat de afgeleide waarde voor `x = 0` niet bestaat.

De afgeleide van `g` is: `g'(x) = 1/(2sqrt(x-3))` .

`g'(3)` heeft geen betekenis, want dan deel je door `0` .

De functie `g` is dus niet differentieerbaar voor `x = 3` .

Naarmate je vanaf de bovenkant dichter bij het randpunt `(3, 2)` komt, wordt de grafiek steeds steiler. De raaklijn in `x = 3` is verticaal, dat wil zeggen dat de raaklijn de vergelijking `x = 3` heeft.

Voor `x < 0` is `f(x) = text(-)x` en `f'(x) = text(-)1` .

Voor `x gt 0` is `f(x) = x` en `f'(x) = 1` .

De hellingwaarden links en rechts van `0` verschillen van elkaar, voor `x = 0` heeft de helling geen eenduidige waarde.

Voor `x ≤ 0` is `f(x) = text(-)x^3` en `f'(x) = text(-)3x^2` .
Voor `x ≥ 0` is `f(x) = x^3` en `f'(x) = 3x^2` .
Zowel links van `x = 0` als rechts van `x = 0` nadert `f'` het getal `0` naarmate je dichter bij `x = 0` komt. Dus ja, de functie is differentieerbaar.

Beide functies hebben geen afgeleide waarde voor `x=2` .

Omdat `f` een functiewaarde heeft voor `x = 2` , namelijk `f(2) = 0` . De raaklijn aan `f` heeft daar de vergelijking `x = 2` .
`g(2)` bestaat echter niet. De grafiek van `g` heeft een verticale asymptoot voor `x = 2` , geen raaklijn.

`text(D)_f = ℝ` en `text(B)_f = [0, →⟩` .

`f(x) = x^(2/3)` en `f'(x) = 2/3 x^(text(-)1/3) = 2/(3 root[3](x))`

`text(D)_(f') = ⟨←, 0⟩ ∪ ⟨0, →⟩` en `text(B)_(f') = ⟨←, 0⟩ ∪ ⟨0, →⟩` .

De functie `f` is niet differentieerbaar voor `x = 0` hoewel dit getal wel in het domein zit. Naarmate je van de onderkant èn van de bovenkant dichter bij het punt `(0, 0)` komt, wordt de grafiek steeds steiler. In dit punt heeft de grafiek een verticale raaklijn, toch is `f` niet differentieerbaar omdat `f'(0)` zelf niet bestaat.

Voor functie `f` geldt:

Als `x ≤ 0 ∧ x ≥ 4` is `f(x) = text(-)x^2 + 4x` en `f'(x) = text(-)2x + 4` dus `f'(0) = 4 ∧ f'(4) = text(-)4` .

Als `0 ≤ x ≤ 4` is `f(x) = x^2 - 4x` en `f'(x) = 2x - 4` en `f'(0) = text(-)4 ∧ f'(4) = 4` .

Bekijk je nu het punt `(0 , 0 )` dan zie je dat het hellingsgetal `4` wordt als je van links naar `x = 0` nadert, terwijl het hellingsgetal `text(-)4` wordt als je van rechts naar `x = 0` gaat. Omdat beide hellingen verschillend zijn, is er sprake van een knikpunt.

Evenzo bij het punt `(4, 0)` , het hellingsgetal is `text(-)4` als je van links naar `x = 4` nadert en `4` als je van rechts naar `x = 0` gaat. Omdat ook deze beide hellingen verschillend zijn, is ook hier sprake van een knikpunt.

De grafiek van `f` heeft dus een knik bij `x = 0` en `x = 4` . De functie `f` is daar dus niet differentieerbaar.

Voor functie `g` geldt:

Als `x ≤ 0 ` is `f(x) = x^2 + 4x` en `f'(x) = 2x + 4` dus `f'(0) = 4 ` .

Als `x ≥ 0` is `f(x) = x^2 - 4x` en `f'(x) = 2x - 4` en `f'(0) = text(-)4` .

Bekijk je nu het punt `(0, 0)` dan zie je dat het hellingsgetal `4` wordt als je van links naar `x = 0` nadert, terwijl het hellingsgetal `text(-)4` wordt als je van rechts naar `x = 0` gaat. Omdat beide hellingen verschillend zijn, is er sprake van een knikpunt.

De grafiek van `g` heeft dus een knik bij `x = 0` . De functie `g` is daar dus niet differentieerbaar.

`f(x) = (x-3)/((x-3)(x+3)) = 1/(x+3)` als `x != 3`

De functie heeft een perforatie voor `x = 3` en is dus voor die `x` -waarde niet differentieerbaar.

De functie heeft een verticale asymptoot voor `x = text(-)3` en is dus voor die `x` -waarde niet differentieerbaar.

Voor `x < 0` is `g(x) = text(-)1` en voor `x > 0` is `g(x) = 1` .

De functie heeft een sprong voor `x = 0` en is dus voor die `x` -waarde niet differentieerbaar.

`h(x) = x + 1` als `x le text(-)1` , `h(x) = text(-)x - 1` als `text(-)1 lt x lt 0` en `h(x) = x + 1` als `x gt 0` .

De functie heeft een sprong voor `x = 0` en is dus voor die `x` -waarde niet differentieerbaar. De functie heeft een knik voor `x = text(-)1` en is dus voor die `x` -waarde niet differentieerbaar.

`f` is een wortelfunctie en heeft als domein `[0, 4]` . De punten `(0, 0)` en `(4, 0)` zijn randpunten. In deze randpunten is `f` niet differentieerbaar, de afgeleide bestaat er niet.

De functie `g` is een modulusfunctie en kan een knikpunt hebben waar `9 - x^2 = 0` .
Dat is het geval als: ` x = text(-)3 vv x = 3` .

`g'(x) = {(text(-)2x,text( voor )text(-)3 le x le 3),(2x, text( voor )x lt text(-)3) vv x gt 3:}`

Uit de limieten van de afgeleide kun je aflezen dat `g` inderdaad bij `(text(-)3, 0)` en `(3, 0)` knikpunten heeft.
`g` is daar dus niet differentieerbaar.

De functie `h` is een gebroken functie met een asymptoot voor `x = 0` . `h` bestaat niet voor `x = 0` (en is er daarom ook niet differentieerbaar). Bovendien is de functie `h` een wortelfunctie met domein `[text(-)2, →⟩` . Het punt `(text(-)2, 0)` is een randpunt van `h` . De functie is niet differentieerbaar in dit punt.

De grafiek van `k` heeft een knikpunt waar `x - 5 = 0` .
De coördinaten van het knikpunt zijn `(5, 10)` . In het knikpunt is `k` niet differentieerbaar.

`f(x) = text(-)2x + 3x^(2/3)`

`f'(x) = text(-)2 + 2x^(text(-)1/3) = text(-)2 + 2/(root[3](x))`

`f'` bestaat niet voor `x = 0` , dus `f` is niet differentieerbaar voor `x = 0` .

`f'(x) = 0` geeft `root[3](x) = 1` en dus `x = 1` .

`f` is niet differentieerbaar in `x = 0` maar bestaat daar wel en heeft er ook een extreme waarde.
Met behulp van de grafiek van `f` vind je: min. `f(0) = 0` en max. `f(1) = 1` .

`A (x_A, 0)` en `B(0, y_B)` .
Er geldt `x_A = y_B` of `x_A = text(-)y_B` .
De richtingscoëfficiënt van lijn `AB` is dan `(Δy)/(Δx) = (y_B - 0)/(0 - x_A) = text(-)1` of `(Δy)/(Δx) = (y_B - 0)/(0 - x_A) = 1` .

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn van `f` voor `x = k` is daarmee `f'(k) = text(-)1` of `f'(k) = 1` .

Dit geeft `2/(root[3](k)) = 1` en `k = 8` of `2/(root[3](k)) = 3` en `k = 8/27` .

`f` is differentieerbaar voor elke waarde van `x lt 1` en voor elke waarde van `x gt 1` .

De vraag is daarmee of `f` ook differentieerbaar is voor `x = 1` .

Als `x≥1` , dan is `f(x) = x^2 - 4x + 6` en `f'(x) = 2x - 4` , zodat `f'(1) = text(-)2` .
Als `x lt 1` , dan is `f(x) = 4 - x^2` en `f'(x) = text(-)2x` .

Er geldt `f(1) = 3 = lim_(x↓1) 4 - x^2` , dus de grafiek maakt geen sprong.

Ook geldt dat `lim_(x↑1) text(-)2x = text(-)2 = f'(1)` , en daarmee is `f` differentieerbaar voor `x = 1` .

Er moet gelden dat er geen sprake is van een sprong dus `f(1) = lim_(x↑1) 4-x^2 = 3` èn dat er geen sprake is van een knik dus ` f'(1) = lim_(x↑1) text(-)2x = text(-)2` .

Dit geeft dan `f(x) = text(-)2x + 4` en dus ` a = text(-)2` en `b = 4` .

`f` is een gebroken functie. `f` bestaat niet voor die waarden van `x` die de noemer `0` maken.

Er geldt `x^2-x-6 = 0` geeft `x = text(-)2 vv x = 3` .

Er geldt: `f(x) = (x+2)/((x+2)(x-3)) = 1/(x-3)` voor `x ≠ text(-)2` .

En `f'(x) = text(-)1/((x-3)^2)` voor `x ≠ text(-)2` .

`f` is niet differentieerbaar voor `x = text(-)2 vv x = 3` .

`lim_(x↑text(-)2) f'(x) = lim_(x↑text(-)2) text(-)1/((x-3)^2) = 1/25` en `lim_(x↓text(-)2) f'(x) = lim_(x↓text(-)2) text(-)1/((x-3)^2) = 1/25` .

De functie `f` bestaat niet voor `x = text(-)2` , maar links van `x = text(-)2` is de helling van de grafiek gelijk aan rechts van `x = text(-)2` . De grafiek van `f` heeft daarom een perforatie voor `x = text(-)2` (en een verticale asymptoot voor `x = 3` ).

`s(5) = 5*5 - 12,5 = 12,5` m en `lim_(t ↑ 5) s(t) = 1/2*5^2 = 12,5` m.
Beide zijn gelijk.

Als `t ge 5` dan is `s'(t) = 5` m/s.
Als `0 le t lt 5` , dan is `s'(t)= t` en `lim_(t ↑ 5) s'(t) = 5` m/s.
Ook nu zijn beide gelijk.

Als `t ge 5` dan is `s''(t) = 0` m/s².
Als `0 le t lt 5` , dan is `s''(t)= 1` m/s².
De eerste vijf seconden moet de fietser een behoorlijke kracht leveren om "op snelheid" te komen. Daarna moet hij alleen nog een kracht leveren om de wrijving met het wegdek of eventuele tegenwind te compenseren.

`x = 2`

`x = text(-)2 ∨ x = 2`

`text(D)_f = ⟨←, 4]`

`x = 0` en `x = 4`

Min. `f(0) = 0` , max. `f(2 2/3) = 1 7/9 sqrt(3)` en min. `f(4) = 0` .