De formule voor de oppervlakte van een cilinder:

`A = 2πr*h + 2*πr^2` , waarbij `A` de oppervlakte van het blik is, `r` de straal en `h` de hoogte van het blik.

De formule voor de inhoud van een cilinder:

`I = πr^2 h` met `I` voor de inhoud van het blik.

Het blik is zuiver cilindervormig en het materiaal is overal even dik zodat de hoeveelheid materiaal alleen wordt bepaald door de oppervlakte ervan.

Met `I = 1000` vind je `1000 = πr^2 h` en dus: `h = 1000/(πr^2)` .

Als je nu in de formule voor `A` deze uitdrukking invult voor `h` , dan vind je: `A(r) = 2000/r + 2 πr^2` .

Opmerking: Je kunt ook de `r` isoleren en substitueren in `A` :

`r = sqrt(1000/(πh))` (de negatieve wortel vervalt want `r gt 0` ) en `A(h) = 2sqrt(100πh) + 2000/h` .

`A'(r) = text(-)2000/(r^2) + 4πr = 0` geeft `r^3 = 2000/(4π)` en dus `r ≈ 5,42` en `h ≈ 10,84` .

Of (iets lastiger) met `A(h)` :

`A'(h) = 1000/(sqrt(1000 πh)) - 2000/(h^2) = 0` geeft `h ≈ 10,84` en `r ≈ 5,42` .

Maak een schets, neem `R` voor het snijpunt van de verticale stippellijn met de horizontale lijn door `Q` en `A` en `B` voor de twee snijpunten van de horizontale stippellijn met de garagedeur en de verticale stippellijn.

Met Pythagoras vind je: `RQ(x) = sqrt(6,25-x^2)` .

Er geldt: `ΔPQR` is gelijkvormig met `ΔPBA` .

Daaruit volgt `(PR)/(PA) = (RQ)/(AB)` , dus `AB = (PA*RQ)/(PR)` .

De lengte van `AB` is `L(x) = ((x-1)sqrt(6,25-x^2))/x = (1 - 1/x)sqrt(6,25-x^2)` .

`L(x) = (1 - 1/x)sqrt(6,25-x^2)` geeft `L'(x) = (1 - 1/x)*(text(-)x)/(sqrt(6,25-x^2)) + sqrt(6,25-x^2)*1/(x^2)` .

`L'(x) = 0` levert `(sqrt(6,25-x^2))/(x^2) = (x - 1)/(sqrt(6,25-x^2))` en dus `x^3 - x^2 = 6,25 - x^2` en `x^3 = 6,25` zodat `x = root[3](6,25) ≈ 1,84` .

Uit de grafiek van `L(x)` kun je aflezen dat het bij `x ≈ 1,84` inderdaad om een maximum gaat.

`AP = 30 - x` en met behulp van Pythagoras vind je: `PH = sqrt(x^2 + 100)` .

De totale benodigde tijd voor het graven van de sleuf is gelijk aan de tijd die nodig is voor het graven van het deel `AP` langs de weg plus het deel `PH` door de tuin.

Als `t` de benodigde tijd per meter langs de weg is, is `1,5t` de benodigde tijd per meter door de tuin.

De totale benodigde tijd wordt daarmee: `T = t*AP + 1,5t*PH = t(30 - x) + 1,5t sqrt(x^2 + 100)`

Omdat `T = t(30 -x + 1,5 sqrt(x^2+100)) = t*A(x)` met `A(x) = 30 - x + 1,5 sqrt(x^2+100)` (en `t gt 0` ) is `T` minimaal als `A` dat is.

`A'(x) = text(-)1 + (1,5x)/(sqrt(x^2+100)) = 0` geeft `sqrt(x^2+100) = 1,5x` en na kwadrateren `1,25x^2 = 100` .

Uit de grafiek van `A` blijkt dat `A` (en dus `T` ) minimaal is als `x = sqrt(80) ≈ 8,94` m.
De te graven sleuf moet daarom na `21,06` m afslaan naar de tuin en recht doorsteken naar het woonhuis.

Gebruik de applet.

Je vindt:

`y_A = text(-)1 + sqrt(3) + 1/(text(-)1+sqrt(3)) = text(-)1 + sqrt(3) + 1/(text(-)1+sqrt(3))*(text(-)1-sqrt(3))/(text(-)1-sqrt(3)) = text(-)1/2 + 1 1/2 sqrt(3)`

`y_B = text(-)1 - sqrt(3) + 1/(text(-)1-sqrt(3)) = text(-)1 - sqrt(3) + 1/(text(-)1-sqrt(3))*(text(-)1+sqrt(3))/(text(-)1+sqrt(3)) = text(-)1/2 - 1 1/2 sqrt(3)`

Voor raaklijn `l` met `l: y = ax + b` geldt: `a = (text(-)1/2 + 1 1/2 sqrt(3) - 1)/(text(-)1 + sqrt(3) - 2) = text(-)1/2 sqrt(3)` en `b = text(-)1/2 + 1 1/2 sqrt(3) + 1/2 sqrt(3)(text(-)1 + sqrt(3)) = 1 + sqrt(3)` , dus

`l: y = text(-)1/2 sqrt(3)x + 1 + sqrt(3)`

Voor raaklijn `k` met `k: y = ax + b` geldt: `a = (text(-)1/2 - 1 1/2 sqrt(3) - 1)/(text(-)1 - sqrt(3) - 2) = 1/2 sqrt(3)` en `b = text(-)1/2 - 1 1/2 sqrt(3) - 1/2sqrt(3)(text(-)1 - sqrt(3)) = 1 - sqrt(3)` , dus

`k: y = 1/2 sqrt(3)x + 1 - sqrt(3)`

`f'(x) = 1 - 1/(x^2)` dus `f'(a) = 1 - 1/(a^2)` .

`y = (1 - 1/(a^2))x + b` door `A(a, a + 1/a)` geeft `y = (1 - 1/(a^2))x + 2/a` .

`(2, 1)` invullen in de gevonden vergelijking van de raaklijn door `A` : `y = (1 - 1/(a^2))x + 2/a` geeft: `1 = 2 - 2/(a^2) + 2/a` .

Na herleiden krijg je `a^2 + 2a - 2 = 0 ∧ a ≠ 0` .

Hieruit volgt `a = text(-)1 + sqrt(3) vv a = text(-)1 - sqrt(3)` .

De rand met een breedte `x` wordt omhoog gevouwen, waardoor de hoogte van de doos gelijk is aan `x` cm.

Het minimum is `x = 0` want je kunt geen negatieve rand vouwen; het maximum is `x = 20` want je kunt niet meer dan de helft van de breedte omhoog vouwen.

De formule voor de oppervlakte van een balk:

`A = 2*(60-2x)*x + 2*(40-2x)*x + (60-2x)(40-2x) = 120x - 4x^2 + 80x - 4x^2 + 2400 - 200x + 4x^2` ,
`A = text(-)4x^2 + 2400` waarbij `A` de oppervlakte van de doos is, `x` de hoogte van de doos.

De formule voor de inhoud van een balk:

`I = (60-2x)(40-2x)x = 2400x - 200x^2 + 4x^3` met `I` voor de inhoud van de doos.

`I(x) = 2400x - 200x^2 + 4x^3`
`I'(x) = 2400 - 400x + 12x^2`
De inhoud is maximaal voor `I'(x) = 2400 - 400x + 12x^2 = 0` .
Je vindt `x ≈ 7,8` cm.

De afmetingen van de doos met grootste inhoud zijn:
`≈ 78` mm, `600-2*78 ≈ 444` mm en `400-2*78 ≈ 244` mm
De grootste inhoud is dan: `7,8*44,4*24,4 ≈ 8450` cm³.

De oppervlakte van de serre bestaat uit de oppervlakte van rechthoek `AEDB` en driehoek `BDC` .

De hoogte van driehoek `BDC` vind je met Pythagoras: `h^2 + x^2 = 3^2` geeft `h = sqrt(9-x^2)` .

Dus `A(x) = 3*2x + 1/2 * 2x * sqrt(9 - x^2) = 6x + x sqrt(9 - x^2)` .

`A(x) = 6x + x*(9 - x^2)^(1/2)`

`A'(x) = 6 + x * 1/2 (9 - x^2)^(text(-)1/2) * text(-)2x + (9-x^2)^(1/2)*1 = 6 - (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) + sqrt(9 - x^2)`

`A'(x) = 0` geeft `6 sqrt(9 - x^2) = 2x^2 - 9` en hieruit volgt `x^4 = 243/4` en `x = text(-)root[4](243/4) vv x = root[4](243/4)` .

Uit de grafiek van `A` kun je aflezen dat `A` een maximum heeft voor `x = root[4](243/4)` . Dit komt overeen met ongeveer `2,79` m.
De maximale vloeroppervlakte is daarom ongeveer `19,8` m².

`f'(x) = (text(-)200x^5 + 1600x^3 + 20000x)/((x^4 + 100)^2) = 0` geeft `x(x^4 - 8x^2 - 100) = 0` en dus `x = 0 ∨ x^2 = (8+sqrt(464))/2` .
Dit levert drie uitkomsten op: `x = 0 ∨ x ≈ ±3,84` .
Met behulp van de grafiek van `f` vind je: min. `f(0) = text(-)4` en max. `f(text(-)3,8) = f(3,8) = 3,4` .

`f(x) = 1/(f(x))` levert op `(f(x))^2 = 1` en dus `f(x) = ±1` .
`f(x) = 1` geeft `x^4 - 100x^2 + 500 = 0` en dus `x^2 = (100 ± sqrt(8000))/2` zodat `x ≈ ±9,73 ∨ x ≈ ±2,30` .
`f(x) = text(-)1` geeft `x^4 + 100x^2 - 300 = 0` en dus `x^2 = (text(-)100 ± sqrt(11200))/2` zodat `x ≈ ±1,71` .
Oplossing ongelijkheid: `x < text(-)9,73 ∨ text(-)2,30 < x < text(-)2 ∨ text(-)1,71 < x < 1,71 ∨ 2 < x < 2,30 ∨ x>9,73` .

Dit betekent dat in het raakpunt `(a, f(a))` moet gelden: `(f(a))/a = f'(a)` .
Dus `(100a^2 - 400)/(a(a^4 + 100)) = (text(-)200a^5 + 1600a^3 + 20000a)/((a^4 + 100)^2)` zodat `(100a^2 - 400)(a^4 + 100) = a(text(-)200a^5 + 1600a^3 + 20000a)` . Dit geeft: `300a^6 - 2000a^4 - 10000a^2 - 40000 = 0` .
Zo'n vergelijking kun je alleen met de grafische rekenmachine oplossen. Je vindt dan `a ≈ ±3,30` .

`f_4 (x)= (x^2 + 4x + 4)/(x + 3) = 0` geeft `x^2 + 4x + 4 = 0` en dus `x = text(-)2` . Nulpunt `(text(-)2, 0)` .
`f_4 '(x)= (x^2 + 6x + 8)/((x + 3)^2) = 0` geeft `x^2 + 6x + 8 = 0` en dus `x = text(-)2 ∨ x = text(-)4` . Extremen max. `f(text(-)4) = text(-)4` en min. `f(text(-)2) = 0` .

Als ook de teller `x^2 + px + 4` een factor `x + 3` heeft kun je die wegdelen (als `x ≠ text(-)3` ).
Omdat `x^2 + 4 1/3 x + 4 = x^2 + 3x + 4/3 x + 3*4/3 = (x + 4/3)(x + 3)` is dit het geval als `p = 3 + 4/3 = 4 1/3` .

Als `x^2 + px + 4 = 0` geen oplossingen heeft of alleen `x = text(-)3` als oplossing heeft.
Dit is het geval als `D = p^2 - 4*1*4 = p^2 - 16 < 0` . Dit betekent `text(-)4 < p < 4` .
Er is maar één oplossing als `p = ±4` en dan is dat niet `x = text(-)3` , dus deze mogelijkheid vervalt.

`f_p'(x)= (x^2 + 6x + 3p - 4)/((x + 3)^2) = 0` heeft geen oplossingen als `x^2 + 6x + 3p - 4 = 0` geen oplossingen heeft of alleen `x=text(-)3` als oplossing heeft.
Dit is het geval als `D = 36 - 4(3p - 4) < 0` en dus als `p > 13/3` .
Er is maar één oplossing als `p = 13/3` en dan is dat niet `x = text(-)3` , dus deze mogelijkheid vervalt.

`f_p(0) = 4/3` en `f_p'(0) = (3p - 4)/9` , dus de raaklijn is `y = (1/3p - 4/9)x + 4/3` .
Deze raaklijn gaat door `(9, 1/3)` als `1/3 = 3p - 4 + 4/3` , dus als `p = 1` .

De coördinaten van het raakpunt `P` zijn `(p, 4 - p^2)` . Als de plank de boog raakt in het punt `P` dan is de richtingscoëfficiënt van de plank gelijk aan `f'(p) = text(-)2p` .

Voor de vergelijking van de plank geldt dan `y = text(-)2px + b` en `b = 4 - p^2 + 2p*p = 4 + p^2` . (Dit is de hoogte waar de plank de muur raakt.) Dus `y = text(-)2px + 4 + p^2` .

De plank raakt de grond voor `y = 0` . Hieruit volgt `x = (4 + p^2)/(2p) = 2/p + 1/2 p` .

`A(p) = ((4 + p^2)^2)/(4p)`

`A'(p) = ((12p^2 - 16)(4 + p^2))/(16p^2)`

`A'(p) = 0` geeft `p = 2/3 sqrt(3)` ( `p = text(-)2/3 sqrt(3)` vervalt).

Uit de grafiek van `A(p)` kun je opmaken dat het hier om een minimum gaat.

De minimale oppervlakte van de driehoek is `A(2/3 sqrt(3)) = 3 5/9 sqrt(3)` .

De lengte van de plank `L` is afhankelijk van het raakpunt `P` .
Met de stelling van Pythagoras vind je: `L(p) = sqrt((2/p + 1/2 p)^2 + (4 + p^2)^2)` .

Met de GR vind je als minimum `y ≈ 5,47` .

De lengte is ongeveer `5,47` m.

Noem het raakpunt van cirkel- en paraboolboog weer punt `P` met coördinaten `(p, 4 - p^2)` .

De cirkel raakt de grafiek van `f` als de straal naar het raakpunt loodrecht staat op de raaklijn aan de parabool in dat punt. De raaklijn in `P` heeft richtingscoëfficiënt `f'(p) = text(-)2 p` en een lijn daar loodrecht op heeft richtingscoëfficiënt `(text(-)1)/(text(-)2 p) = 1/(2p)` .

De straal naar `P` heeft richtingscoëfficiënt `(Δy)/(Δx) = (4 - p^2)/p` .

De straal staat loodrecht op de raaklijn als `(4 - p^2)/p = 1/(2p)` .

Hieruit volgt `p = 1/2 sqrt(14)` .

De coördinaten van `P` zijn daarmee `(1/2 sqrt(14), 1/2)` .
De gevraagde straal is `sqrt((1/2 sqrt(14))^2 + (1/2)^2) = 1/2 sqrt(15)` m.

Min. `f(0) = f(1) = 0` en max. `f(1/2) = 1/256` .

De bedoelde oppervlakte is maximaal als `k = 5/9` .