Differentieerregels > OptimaliserenVerwerken
Een fabrikant van balkvormige dozen maakt dozen van karton. Voor het maken van een doos (zonder deksel) gebruikt hij karton met een afmeting van `40 xx 60` cm.
Neem aan dat `x` de hoogte van de doos is en bepaal welke maximale en minimale waarde `x` heeft.
Druk de oppervlakte `A` en de inhoud `I` van de doos uit in `x` .
Bereken met behulp van differentiëren bij welke hoogte (mm) de doos de grootste inhoud heeft.
Bereken de maximale inhoud van de doos (cm3) en de afmetingen (mm) die daarbij horen.
Iemand wil met behulp van een viertal even grote rechthoekige kozijnen een serre aan zijn huis bouwen. Elk van die kozijnen is `2,5` m hoog en `3` m breed. Hij bestudeert de mogelijke opstellingen waarbij twee kozijnen `AB` en `DE` loodrecht op de muur worden bevestigd. De andere twee `BC` en `CD` worden zo geplaatst dat de vloeroppervlakte van de serre maximaal wordt.
|
|
|
De afstand tussen de twee kozijnen die loodrecht op de muur staan is `2x` . Toon aan dat voor de vloeroppervlakte `A` van de serre geldt: `A(x) = 6x + x sqrt(9 - x^2)` .
Bereken algebraïsch de grootst mogelijke vloeroppervlakte van deze serre.
Iemand wil een ladder kopen om zijn dakgoten schoon te maken. Vlak naast zijn huis
op
`1`
m van de muur staat echter een schutting van
`3`
m hoog.
Hoe lang moet een ladder minstens zijn om over de schutting tegen de muur van het
huis te komen?
(Ga er van uit dat zowel de muur van het huis als de schutting loodrecht op de vlakke
grond staan.)
Bekijk de grafiek van de functie f met `f(x) = (100x^2 - 400)/(x^4 + 100)` .
Bereken algebraïsch het bereik van `f` . Geef benaderingen in één decimaal nauwkeurig.
Los algebraïsch op: `f(x) ≤ 1/(f(x))` .
De lijn `y = ax` raakt de grafiek van `f` . Bereken `a` .
Gegeven is de familie van functies `f_p` door `f_p(x) = (x^2 + px + 4)/(x + 3)` .
Bereken algebraïsch de nulpunten en de extremen van `f_4` .
Voor welke waarden van `p` heeft de grafiek van `f_p` geen verticale asymptoot?
Voor welke waarden van `p` heeft de grafiek van `f_p` geen nulpunten?
Voor welke waarden van `p` heeft `f_p` geen extremen?
Voor welke waarden van `p` gaat de raaklijn aan de grafiek van `f_p` voor `x = 0` door het punt `(9, 1/3)` ?
Een metalen boog in de vorm van een halve bergparabool is op `4` m hoogte tegen een hoge muur bevestigd en raakt de grond op een afstand van `2` m van de muur.
Tegen de metalen constructie wordt een rechte plank gezet die zowel de grond, de halve paraboolboog als de muur raakt.
In een wiskundig model van de situatie waarbij de diktes van de boog en de plank verwaarloosd
zijn is een assenstelsel aangebracht met de
`x`
-as als de grond en de
`y`
-as als de muur.
Voor de boog geldt
`y = 4 - x^2`
.
Stel de plank raakt de boog in het punt
`P`
met
`x_P = p`
.
Toon aan dat de plank dan de grond raakt in het punt
`(2/p + 1/2 p, 0)`
.
De plank vormt met de grond en de muur een driehoek.
Toon aan dat voor de oppervlakte van die driehoek als functie van de `x` -coördinaat van het raakpunt `P` geldt: `A(p) = ((4 + p^2)^2)/(4p)` en bereken algebraïsch de minimale oppervlakte van die driehoek.
Bereken de lengte van de kortste plank die zowel de grond, de boog en de muur raakt. Geef je antwoord in centimeter.
Onder de halve paraboolboog wordt een metalen kwart cirkelboog gemaakt die de oorsprong als middelpunt heeft en de paraboolboog raakt.
De diktes van de bogen kun je verwaarlozen.
Bereken exact de straal van de cirkelboog.