Differentieerregels > OptimaliserenVoorbeeld 1
Bekijk de dwarsdoorsnede van een garage met een garagedeur.
Bij het openen van de deur gaat de onderkant (punt `P` ) recht omhoog, terwijl de bovenkant (punt `Q` ) langs het plafond horizontaal naar binnen (rechts) gaat. Binnen in de garage moet dus voldoende ruimte zijn om te zorgen dat een auto niet beschadigd raakt door de naar binnen komende deur. De garagedeur is `2,50` m hoog en de auto is `1,50` m hoog. Hoe ver komt de deur op die hoogte van `1,50` m maximaal naar binnen?
Maak een schets van de situatie en geef de belangrijke punten een letter.
Noem de afstand van
`P`
tot het plafond
`x`
en zet de maten van de andere zijden die vaststaan in de schets. De afstand
`L`
die de deur op een hoogte van
`1,50`
m naar binnen komt (de lengte van de horizontale stippellijn binnen de driehoek die
de deur met het plafond maakt), is een functie van
`x`
. Voor de lengte
`L`
geldt:
`L(x) = (1 - 1/x)sqrt(6,25 - x^2)`
.
Je kunt hiermee berekenen dat het maximum van
`L`
bij
`x ≈ 1,84`
m optreedt:
`L(1,84) ≈ 0,77`
.
Dat wil zeggen dat de garagedeur op een hoogte van
`1,50`
m maximaal zo'n
`77`
cm naar binnen komt.
Bekijk in
Toon aan dat voor de lengte `L` als functie van `x` de formule in het voorbeeld geldt.
Toon aan met behulp van differentiëren dat de waarde van `L` maximaal is voor `x ≈ 1,84` m.