Differentieerregels > OptimaliserenVoorbeeld 2
Een woonhuis heeft een nieuwe leiding nodig. Het huis `H` staat op een afstand van `10` meter van de rechte weg `AB` . Het aansluitingspunt `A` voor de leiding ligt `30` meter verderop in de straat. De sleuf voor de leiding kan geheel of gedeeltelijk door de tuin gegraven worden. Het graven en weer netjes dichtmaken van een sleuf in de tuin kost `1,5` keer zo veel tijd als datzelfde werk langs de wegkant. Hoe moet er worden gegraven om alles in zo kort mogelijke tijd te doen?
`P`
is het punt waarbij de leiding de weg verlaat en dwars door de tuin verder gaat.
Neem
`x`
meter voor de lengte van
`BP`
en
`t`
voor de benodigde tijd per meter langs de weg.
Maak een schets van de situatie en zet alle maten erbij.
De totale benodigde tijd is:
`T = t(30 - x) + 1,5t sqrt(x^2 + 100)`
.
Met behulp van differentiëren vind je de waarde van
`x`
waarvoor
`T`
maximaal is, de waarde van
`t`
speelt daarbij geen enkele rol.
Bekijk in
Toon aan dat voor de totale tijd `T(x)` als functie van de afstand `x` en de benodigde tijd `t` langs de weg de formule in het voorbeeld geldt.
Toon aan dat bij het vinden van de kortste benodigde tijd voor het graven de waarde van `t` geen enkele rol speelt.
Bereken met behulp van differentiëren na hoeveel meter de sleuf van de wegkant naar de tuin af moet slaan om de totale benodigde tijd voor het graven zo kort mogelijk te houden.