Differentieerregels > OptimaliserenVoorbeeld 3
Gegeven is de functie:
`f(x) = x + 1/x`
.
Bereken exact de
`x`
-coördinaten van de punten aan de grafiek van
`f`
waarvan de raaklijnen door het punt
`P(2, 1)`
gaan.
In de figuur raakt raaklijn
`l`
de grafiek als de helling van die lijn gelijk is aan de helling van de grafiek in
dat punt (de afgeleide dus) van de functie
`f`
.
Het raakpunt is
`(x, f(x))`
, dus:
`a = (Δy)/(Δx) = (f(x)-1)/(x-2) = f'(x)`
`f(x) = x + 1/x`
en
`f'(x) = 1 - 1/(x^2)`
geeft:
`(x + 1/x - 1)/(x - 2) = 1 - 1/(x^2) `
Na beide zijden met
`x - 2`
vermenigvuldigen krijg je:
`x + 1/x - 1 = (1 - 1/(x^2))(x - 2)`
Dit geeft: `1 + 2/x - 2/(x^2) = 0` en `x^2 + 2x - 2 = 0` .
Er zijn dus twee mogelijke oplossingen: `x_A = text(-)1 + sqrt(3)` en `x_B = text(-)1 - sqrt(3)` .
Bekijk
Er zijn dus blijkbaar twee punten
`A`
en
`B`
op de grafiek van
`f`
die een raaklijn hebben die door punt
`P`
gaan.
Ga na dat er door het punt `P(2, 1)` inderdaad twee lijnen gaan die de functie `f(x) = x + 1/x` ergens raken.
Geef de vergelijkingen van de raaklijnen.
Je had dit probleem ook anders kunnen aanpakken, bijvoorbeeld door het punt `A` variabele coördinaten te geven: `A(a, a + 1/a)` .
Leg uit dat dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn door `A` gelijk is aan `1 - 1/(a^2)` .
Stel nu de vergelijking van de raaklijn door `A` met die richtingscoëfficiënt op.
Bereken ten slotte de twee mogelijke waarden voor `a` door gebruik te maken van het gegeven dat de raaklijn door `P(2, 1)` moet gaan.
Gegeven zijn de functies
`f`
en
`g`
door
`f(x) = x^2`
en
`g(x) = sqrt(x)`
.
De lijn
`x = p`
met
`0 < p < 1`
snijdt beide grafieken in de punten
`A`
en
`B`
. Voor welke waarde van
`p`
is de lengte van lijnstuk
`AB`
maximaal?