Differentieerregels > Optimaliseren
1234567Optimaliseren

Uitleg

Een blikfabriek maakt cilindervormige blikken met een inhoud van `1` liter. Voor de fabrikant is het belangrijk dat daar zo min mogelijk blik voor nodig is, dan blijven zijn kosten laag. Welke afmetingen zal hij zijn literblikken geven?

Om die vraag te beantwoorden kun je een rekenmodel opstellen. Bijvoorbeeld zo:

  • Doe enkele aannames.
    Het blik is zuiver cilindrisch en de benodigde hoeveelheid blik is gelijk aan de totale oppervlakte van het blik.

  • Bepaal welke variabelen een rol spelen.
    Het gaat om het berekenen van de straal van (het grondvlak van) het blik `r` en de hoogte `h` , neem beide bijvoorbeeld in centimeter. Het gegeven betreft de inhoud van een blik ( `1` L = `1000` cm3), de eis betreft de oppervlakte die minimaal moet zijn.

  • Bedenk welke bekende formules hier gelden.
    Ga na, dat voor de inhoud van een cilinder geldt: `I = πr^2 h` .
    En voor de oppervlakte van een cilinder geldt: `A = 2πrh + 2πr^2` .

  • Gebruik de gegevens.
    Omdat `I=1000` cm3 vind je `1000 = πr^2 h` .

  • Zorg dat er één formule met twee variabelen overblijft.
    Door beide formules te combineren vind je: `A(r) = 2000/r + 2πr^2` .

Met behulp van differentiëren (of de grafische rekenmachine) vind je nu dat voor `r ≈ 5,4` cm en `h ≈ 10,8` cm de totale oppervlakte minimaal is.

Opgave 1

Gebruik de gegevens uit de Uitleg .

a

Welke twee formules voor een cilinder worden er gebruikt?

b

Welke aannames worden er gedaan?

c

Laat zien hoe je aan de formule voor `A(r)` komt.

d

Bereken met behulp van differentiëren bij welke afmetingen van het blik de hoeveelheid gebruikt materiaal het laagst is.

verder | terug