`f'(x) = x/(sqrt(x^2 + 1))`

`f'(x) = 4 sqrt(x^2 + 1) + (4x^2)/(sqrt(x^2 + 1))`

`f'(x) = (text(-)4x^2 + 4)/((x^2 + 1)^2)`

`f'(x) = 1/4 - 1/(4x^2)`

`f'(x) = 4/((x^2 + 1)sqrt(x^2 + 1))`

`V'(2)=text(-) 1 5/13`

`p(t) = 2t + 1`

`f'(x) = (text(-)15x^2 + 540)/((x^2 + 36)^2)` .

`f'(x) = 0` geeft `x = text(-)6 vv x = 6` .
Met behulp van de grafiek van `f` vind je: min. `f(text(-)6) = text(-)1 1/4` en max. `f(6) = 1 1/4` .

`f(3) = 1` en `f'(3) = 1/5` , dus de raaklijn heeft de vergelijking `y = 1/5 x + 2/5` en `A = (0, 2/5)` .

`f'(x) = text(-)1 + 1/(3 root[3](x^2))`

`f'(x) = 0` geeft `x = text(-)1/9 sqrt(3) vv 11/9 sqrt(3)` .
Je vindt min. `f(text(-)1/9 sqrt(3)) ≈ text(-)0,38` en max. `f(1/9 sqrt(3)) ≈ 0,38` .

`P = (p, text(-)p + root[3](p))` en `f'(p) = text(-)1 + 1/(3 root[3](p^2))` geeft raaklijn `y = (text(-)1 + 1/(3 root[3](p^2))) x + 2/3 root[3](p)` .
Deze raaklijn gaat door `(0, 1)` als `2/3 root[3](p) = 1` en dus als `p = (1 1/2)^3 = 3 3/8` .
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is `f'(3 3/8) = text(-)23/27` .

Om na te gaan dat er geen sprongen in de grafiek zitten, vul je zowel `x = text(-)2` als `x = 2` bij beide functievoorschriften in en ga je na of daar bij beide hetzelfde uit komt. Dat blijkt zo te zijn.
Om na te gaan dat er geen knikken in de grafiek zitten, vul je zowel `x = text(-)2` als `x = 2` bij beide afgeleiden in en ga je na of daar bij beide hetzelfde uit komt. Bij `x = 2` en bij `x = text(-)2` klopt dat niet.
Er zitten dus knikken in de grafiek en hij is daarom bij zowel `x = text(-)2` als `x = 2` niet differentieerbaar.

Bij `x = text(-)2` moet: `text(-)3 = text(-)8a - 2b` en `0,5 = 12a + b` .
Bij `x = 2` moet: `3 = 8a + 2b` en `0,5 = 12a + b` .
Hieruit volgt `b = 0,5 - 12a` en dus `3 = 8a + 2(0,5 - 12a)` zodat `a = text(-)0,125` en `b = text(-)1` .

`t = (AK)/(v_s) + (KB)/(v_z)`

`t(x) = (sqrt(x^2 + 2500))/6 + (2sqrt(x^2 - 200x + 10400))/3`

De minimale tijd is ongeveer `31,6` seconden.

De kortste afstand is ongeveer `128,37` m.

`L(x) = sqrt(a^2 + x^2) + sqrt(b^2 + (c-x)^2)`

`L(x) = sqrt(4 + x^2) + sqrt(26 - 10x + x^2)` en `L'(x) = x/(sqrt(4 + x^2)) + (text(-)5 + x)/(sqrt(26 -10x + x^2))` .
`L'(x) = 0` geeft na kwadrateren `x^2(26 - 10x + x^2) = (4 + x^2)(x^2 - 10x + 25 )` en dan `3x^2 - 40x + 100 = 0` . Dit levert op `x = (40 ± sqrt(400))/6` en dus `x = 10 ∨ x = 3 1/3` .
`L` is minimaal als `x = 3 1/3` dm.

Gebruik de gelijkvormigheid van `∆ AA'P` en `∆ BB'P` .

`d_W = 1/2*3 = 1 1/2` en `d_T = 3/13 * 1 1/2 + 10/13 * 5 ≈ 4 ,2` (cm).

`d_T = h/(h+10) * 1/2 h + h/(h + 10) * 5` herleiden naar de juiste vorm.

`(h^2 + 100)/(2h + 20) = 4,5` geeft `h ≈ 1,3 ∨ h ≈ 7,7` .
`d_T < 4,5` voor `1,3 < h < 7,7` .

`d_T'(h) = (2h^2 + 40h - 200)/((2h + 20)^2) = 0` geeft `h = text(-)10 ± sqrt(200)` .
`d_T` is minimaal als `h = text(-)10 + sqrt(200)` .

`A = (text(-)2/m, text(-)2 )` , `B = (4, 4m)` en `S = (4, text(-)2 )` .
`AS = 2/m + 4` en `BS = 4m + 2` geeft `AB = sqrt((2/m + 4)^2 + (4m + 2)^2)` .

De H25 is de `x` -as en de V18 is de `y` -as. De bedoelde weg door `P` is lijnstuk `AB` met `A` op de `x` -as en `B` op de `y` -as.
`P = (7, 4)` , `Q = (7, 0)` en `R = (0, 4)` . Neem `QA = x` , dan is `RB = 28/x` (gelijkvormigheid).
`AB = sqrt((x + 7)^2 + (28/x + 4)^2)` .
Het minimum is `15,360` km (of `15360` m). Je mag dit berekenen met de grafische rekenmachine.

`y'(x) = r - 2(0,1 + 0,1r^2)x` , dus `y'(0) = r` .

`rx - (0,1 + 0,1r^2)x^2 = 0` geeft `x = 0 ∨ (0,1 + 0,1r^2)x = r` .
`(0,1 + 0,1r^2)x = r` geeft `(1 + r^2)x = 10r` , en `x = (10r)/(1 + r^2)` .

`OD'(r) = (10 - 10 r^2)/((1 + r^2)^2) = 0` geeft `r = ±1` .
`OD` is minimaal voor `r = 1` .

`x_C` is maximaal voor `r ≈ 2 ,41` . Dus de maximale lengte van `OC` is `2,42 * sqrt(2) ≈ 3,41` .