Differentieerregels > TotaalbeeldToepassen
Als in een min of meer constante stroom auto's met ongeveer dezelfde snelheid wordt geremd, kan er een file ontstaan. Stel je nu voor dat door werkzaamheden een rijstrook op de snelweg is afgesloten. Bij het invoegen van auto's naar één rijstrook moet vaak onhandig worden gemanoeuvreerd, zodat het verkeer moet afremmen of zelfs stil moet staan. Dit is het moment dat een file ontstaat. Zo'n file is niet nodig als iedereen tijdig de juiste doorstroomsnelheid kiest. Daarbij gaat het erom dat zoveel mogelijk auto's per tijdseenheid de wegversmalling passeren.
Onder bepaalde aannames kun je een formule afleiden voor het aantal auto's dat op een bepaald punt kan passeren afhankelijk van de snelheid. Bijvoorbeeld:
-
Alle auto's passeren het punt met dezelfde constante snelheid van `v` km/uur.
-
Alle auto's hebben dezelfde lengte van ongeveer 4 m.
-
Alle auto's houden een onderlinge afstand die gelijk is aan hun remweg.
-
Alle auto's hebben dezelfde remweg die is te berekenen door de snelheid `v` in km/uur te delen door `10` , daarvan het kwadraat te nemen en dat getal met `0,75` te vermenigvuldigen.
Stel op grond daarvan een formule op voor het aantal auto's `f` dat per minuut het punt passeert waar de file ontstaat als functie van `v` . Bepaal van de gevonden functie `f(v)` een maximum en vooral de waarde van `v` waarvoor dat maximum optreedt. Dat is dan de optimale doorstroomsnelheid.
Bekijk het verhaal over filevorming hierboven. Neem aan dat alle auto's
`4`
m lang zijn en hun onderlinge afstand precies de remweg
`R`
(in meter) is. Deze remweg hangt af van de snelheid
`v`
(in km/h).
Er geldt bij benadering:
`R = 3/4*(v/10)^2`
.
De verkeersdienst zet een teller halverwege de wegversmalling die meet hoeveel auto's
er per minuut passeren. Stel nu een formule op voor het aantal auto's dat per minuut
de teller passeert. Bereken met behulp van differentiëren bij welke snelheid zoveel
mogelijk auto's de teller passeren.
Dit is een beroemd probleem uit de Griekse Oudheid. Het stamt uit de "Catoptrica" van Heroon.
"Een lichtstraal loopt van punt naar punt doordat hij van het oppervlak van een vlakke spiegel wordt teruggekaatst. Aangenomen dat het licht altijd de kortste route neemt, waar raakt het dan de spiegel?"
`P` is het punt waar het licht wordt weerkaatst. De afmetingen zijn verder in de figuur te vinden. De lengte van de lichtstraal ( `L` ) is gelijk aan de som van de lengtes van `AP` en `PB` . De positie van `P` is bekend als `x` is berekend.
Stel zelf een formule op voor `L` als functie van `x` .
Neem `a = 2` dm, `b = 1` dm en `c = 5` dm. Bereken met behulp van differentiëren `x` als `L` zo klein mogelijk is in twee decimalen nauwkeurig.
Laat ook zien hoe je dit probleem meetkundig kunt oplossen.