Differentieerregels > Examenopgaven
|
|
|
Een kubusvormige bak met deksel heeft binnenmaten
`10`
bij
`10`
bij
`10`
centimeter en weegt
`1`
kilogram. Het zwaartepunt
`B`
van de bak ligt in het centrum van de bak, dus
`5`
cm boven het midden van de bodem. De bak wordt met water gevuld tot een hoogte van
`h`
cm. Het zwaartepunt
`W`
van het water (de bak niet meegerekend) ligt in het centrum van het water, dus
`1/2 h`
cm boven het midden van de bodem. Zie de foto en de figuur waarin op schaal een vooraanzicht
van de bak is getekend. Het zwaartepunt van het geheel (bak en water samen) noemen
we
`T`
. Het punt
`T`
ligt op het lijnstuk
`BW`
.
Er geldt:
`d_T = h/(h + 10) d_W + 10/(h + 10) d_B`
.
Hierbij zijn
`d_T`
,
`d_W`
en
`d_B`
de afstand in centimeter van achtereenvolgens
`T`
,
`W`
en
`B`
tot de bodem.
Bereken `d_T` voor `h = 3` . Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
Toon aan dat voor de afstand van `T` tot de bodem, uitgedrukt in `h` , geldt: `d_T = (h^2 + 100)/(2h + 20)` .
Als de bak leeg is, valt `T` samen met `B` . Tijdens het vullen van de bak verschuift de plaats van `T` eerst omlaag en later weer omhoog. Als de bak vol is, valt `T` weer samen met `B` . Bereken voor welke waarden van `h` geldt: `d_T < 4,5` . Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
Bereken exact voor welke waarde van `h` de afstand van `T` tot de bodem minimaal is.
(bron: examen wiskunde B vwo 2002, eerste tijdvak)
We bekijken de lijn met vergelijking `y = mx` , met `m>0` . De lijn snijdt de lijn `y = text(-)2` in `A` en de lijn `x = 4` in `B` .
Bewijs dat voor elke positieve waarde van `m` de lengte van het lijnstuk gelijk is aan `sqrt((4m + 2)^2 + (2/m + 4)^2)` .
Plaats `P` ligt dichtbij het kruispunt van twee wegen, de H25 en de V18. De wegen snijden elkaar loodrecht. Plaats `P` ligt `4` km van de H25 en `7` km van de V18 af.
Er wordt een nieuwe rechte weg aangelegd die de twee wegen met elkaar verbindt. De nieuwe weg moet door plaats `P` gaan.
Bereken in meters nauwkeurig de lengte van de kortste weg die aan deze eisen voldoet.
(bron: examen wiskunde B vwo 2002, tweede tijdvak)
|
|
|
|
Vanuit een bepaald punt worden kogels afgeschoten met steeds dezelfde beginsnelheid. De hoek waaronder men de kogels afschiet, varieert. We brengen een assenstelsel aan in het vlak van de kogelbaan, met de `x` -as horizontaal en de `y` -as verticaal. De kogels worden afgeschoten in het punt `(0, 0)` en komen neer in een punt op de `x` -as. Zie de bovenste figuur. In deze figuur is behalve de kogelbaan ook de raaklijn `l` in `(0, 0)` aan deze baan getekend. De kogel wordt weggeschoten in de richting van `l` . Uit de mechanica is bekend dat een kogelbaan een deel van een parabool is. Een vergelijking van de kogelbaan is: `y = rx - (0,1 + 0,1r^2)x^2` . Hierbij is `r` een constante die afhangt van de hoek waaronder geschoten wordt.
De richtingscoëfficiënt van `l` is gelijk aan `r` . Toon dit aan.
Er geldt: `OD = (10r)/(1 + r^2)` . Toon dit aan.
Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van `r` de afstand maximaal is.
Veronderstel dat de kogel niet op een horizontaal terrein wordt afgeschoten, maar op een hellend terrein met richtingscoëfficiënt `1` . Zie de onderste figuur. Het hangt van `r` af waar de kogel op het terrein neerkomt. Dit punt noemen we `C` . De `x` -coördinaat van punt `C` is `(10(r - 1))/(1 + r^2)` . Bereken de maximale lengte van `OC` in twee decimalen nauwkeurig.
(bron: examen wiskunde B vwo 2003, tweede tijdvak)