De stroom `S` in m³ uitgezet tegen de tijd `t` in uren.

Door per tijdsinterval te kijken hoeveel m³ water er in het spaarbekken bijkomt of afgaat van de beginhoeveelheid.

Gebruik de applet. De ondersom is ongeveer `7917` m³ en de bovensom ongeveer `11095` m³. Daar tussenin ligt de hoeveelheid die erbij is gekomen die dag.

Stel in: `n = 48` . De ondersom is nu ongeveer `8736` m³ en de bovensom ongeveer `10325` m³. Daar tussenin ligt de hoeveelheid die erbij is gekomen die dag.

Je berekent steeds hoeveel er bij `H(0)` komt en dus is `H(24)` gewoon `H(0)` plus de "oppervlakte" (soms ook negatief) van alle staafjes samen. De oppervlakte van alle staafjes samen is daarom `H(24) - H(0)` .

De schatting van `H(24) - H(0)` is een schatting van de som van de oppervlaktes van de gebieden onder de grafiek als hij boven de `t` -as ligt, minus de oppervlakte van het gebied boven de grafiek als hij onder de `t` -as ligt.

Stel in: `n = 96` . De ondersom is ongeveer `9139` .

De bovensom is ongeveer `9934` .

De integraal zal in de buurt liggen van `(9934 + 9139)/2 ≈ 9536` .
Zelfs als je in de applet `n` zo groot mogelijk maakt blijft er verschil tussen ondersom en bovensom. Ze naderen elkaar heel langzaam.

Je hebt nu uitgerekend hoeveel water er op een dag in het spaarbekken bij komt.
Dat heeft kennelijk te maken met de oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van de variabele stroom, met dien verstande dat als stroom negatief is ook het gebied als een aftrekpost geldt.

Werk met de applet, stel een bepaalde waarde van `n` in. Bereken daarbij zelf de onder- en de bovensom.

Ondersom ongeveer `3,44` en bovensom ongeveer `5,78` .

De integraal wordt `4,6875` .

De ondersom is `20` en bovensom is `30` .

De integraal is ongeveer `(20 + 30)/2 = 25` .

De ondersom is `22,5` en bovensom is `27,5` . De schatting blijft `25` .

De integraal is gelijk aan de oppervlakte van de driehoek die het gebied voorstelt tussen de grafiek van `f` en de lijn `x=5` . Deze oppervlakte is `1/2 * 5 * 10 = 25` .

De ondersom is `17,75` en bovensom is `23,75` .

Ga na, dat je dezelfde uitkomst vindt als in het voorbeeld. Bekijk eventueel eerst het Practicum .

De integraal is `4/3` .

De ondersom is `ul(S) = 2/n*(0 + 0,5 * (1 *2/n)^2 + 0,5 * (2 *2/n)^2 + ... + 0,5 * ((n - 1)*2/n)^2)` .

De ondersom is `ul(S) = 2/n * (0 + 0,5 * 1^2 * 4/(n^2) + 0,5 * 2^2 * 4/(n^2) + ... + 0,5 * (n-1)^2 * 4/(n^2)) =` ` 4/(n^3) (0^2 + 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2)` .
Met behulp van de gegeven formule vind je `ul(S) = (2 (n - 1)(2n - 1))/(3 n^2)` .

Als `n→∞` dan `ul(S) = (2 (n - 1)(2 n - 1))/(3 n^2) = (4 n^2 - 6 n + 2) / (3 n^2) = 4/3 - 2/n + 2/(3n^2) → 4/3` .

Doen.

Doen.

`int_0^(0,5 π) sin(x)text(d)x = 1` .

Die oppervlakte is `3` .

Het voorwerp beweegt terug naar het beginpunt.

Na `15` seconden is `15 *20 = 300` meter afgelegd. In de volgende `20` seconden wordt `200` meter afgelegd. Na `35` seconden is het voorwerp `100` meter van het beginpunt verwijderd.

De afgelegde afstand is gelijk aan de oppervlakte onder `v(t)` .

Je hoeft niet met onder- en bovensom te werken. Deze oppervlakte kun je meetkundig berekenen door het gebied onder de grafiek te verdelen in rechthoeken en halve rechthoeken. Je vindt `237,5 + 100 = 337,5` m afgelegd en `237,5 - 100 = 137,5` m vanaf het beginpunt.

Het aantal liter olie dat uit het vat is gestroomd.

`5 * 1 + 1/2 * 5 * 1 = 7,5` liter.

De ondersom is ongeveer `7,5 + 2,5*0,6 + 2,5*0,25 + 2,5*0,1 + 2,5*0 =9,875` liter. De bovensom is ongeveer `7,5 + 2,5*1 + 2,5*0,6 + 2,5*0,25 + 2,5*0,1 = 12,375` liter. Er is dus ongeveer `9,875 + 12,375 = 11,125 ≈ 11` liter uit het vat gestroomd.

Dit gebeurt binnen de eerste vijf minuten waarin het uitstromen lineair gaat. Voor die periode is de uitstroomsnelheid `v(t) = 2 -0,2 t` . De oppervlakte onder de grafiek van `0` tot `t` moet dan `4` liter zijn, dus: `t*(2 - 0,2t) + 1/2*t*(2 - (2 - 0,5t)) = 2t - 0,1t^2 = 4` . Dit geeft `t ≈ 2,25` minuten.

`ul(S) = 2*sqrt(1) + 2*sqrt(3) + 2*sqrt(5) + 2*sqrt(7) ≈ 15,2277` en `bar(S) = 2*sqrt(3) + 2*sqrt(5) + 2*sqrt(7) + 2*sqrt(9) ≈ 19,2277` . De schatting is het gemiddelde van de ondersom en de bovensom, dus ongeveer `17,2` .

`ul(S) ≈ 16,3060` en `bar(S) ≈ 18,3060` . De schatting wordt nu ongeveer `17,3` .

`13,5` (verdeel het gebied in een rechthoek en een halve rechthoek)

`63` (GR)

`1` (GR)

`4` (het gebied is een rechthoek)

`≈1,4427` (GR)

`≈2,6667` (GR)

`text(-) int_2^6 (x^2 - 8x)text(d)x = 58 2/3`

`text(-) int_6^8 (x^2 - 8x)text(d)x + int_8^(10) (x^2 - 8x)text(d)x = 32`

Doen. Je kunt alle verschillen op elkaar stapelen tot één rechthoek.

`(b-a)/4*f(b) - (b-a)/4*f(a)`

`(b-a)/10*f(b) - (b-a)/10*f(a)` en `(b-a)/n*f(b) - (b-a)/n*f(a)` .

`(0,5π - 0)/n*sin(0,5π) - (0,5π - 0)/n*sin(0) = (0,5π)/n gt 0,0001` geeft `n gt 5000 π` .

In een snelheid-tijd diagram is de oppervlakte onder de grafiek gelijk aan de afgelegde afstand. Op de intervallen `[0, 1]` en `[2, 7]` is dat gemakkelijk te berekenen. Op de intervallen `[1 , 2]` en `[7, 10]` is dat lastiger. Daar zul je moeten schatten.

Als je de laagste snelheid voor de hoogte van de kolom kiest dan krijg je altijd een schatting van de afgelegde afstand, die kleiner is dan de werkelijk afgelegde afstand.

Als je de hoogste snelheid voor de hoogte van de kolom kiest dan krijg je altijd een schatting van de afgelegde afstand, die groter is dan de werkelijk afgelegde afstand.

Als je voor de hoogte van de kolom de snelheid kiest die je halverwege het interval afleest, dan krijg je op het interval `[0, 1]` een goede schatting, op de intervallen `[1, 2]` en `[8, 9]` een te hoge inschatting en op het interval `[9, 10]` een te lage inschatting. Het resultaat heeft dus een onzekere uitkomst, het kan goed zijn, te hoog of te laag.

Als je voor de hoogte van de kolom de gemiddelde snelheid kiest die je in dat interval afleest, dan krijg je op het interval `[0, 1]` een goede schatting, op de intervallen `[1, 2]` en `[8, 9]` een te lage inschatting en op het interval `[9, 10]` een te hoge inschatting. Ook het resultaat hiervan heeft een onzekere uitkomst.

De ondersom van de afgelegde afstand voor `Δt=1` s is gelijk aan: `0*1 + 6*1 + (9*1)*5 + 6,5*1 + 3*1 + 3*1 = 63,5`  m.

De bovensom van de afgelegde afstand voor `Δt=1` s is gelijk aan: `6*1 + 9*1 + (9*1)*5 + 9*1 + 6,5*1 + 6*1 = 81,5`  m.

Je moet de grafiek verdelen in oneindig smalle kolommen. In een oneindig smalle kolom is de laagste snelheid bij benadering gelijk aan de hoogste en dus ook bij benadering aan de werkelijke snelheid op dat moment.

Je kunt het hele gebied onder de grafiek verdelen in rechthoeken en halve rechthoeken.
Je krijgt zo: `1/2*1*6 + 1*6 + 1/2*1*3 + 9*5 + 2*3 + 1/2*2*6 + 1*3 + 1/2*1*3 = 72` m.

De ondersom is `text(-)12 + text(-)5 + 0 + 3 + 3 + 0 + text(-)5 + text(-)12 = text(-)28` .
De bovensom is `text(-)5 + 0 + 3 + 4 + 4 + 3 + 0 + text(-)5 = text(-)4` .

`int_(text(-)4)^4 (4 - x^2)text(d)x = 10 2/3` en dat getal ligt tussen de in a gevonden ondersom en bovensom.

Die oppervlakte is `2 * int_2^4 (text(-)4 + x^2)text(d)x + int_(text(-)2)^2 (4 - x^2)text(d)x = 32` .

De ondersom is `2,25` en de bovensom is `6,25` .

`ul(S) = 2/n*(0 + (2/n)^3+ (2*2/n)^3 + ... + ((n-1)*2/n))^3 = 16/(n^4) * sum_(k=0)^(n-1) k^3` .

`2/n*(2^3 - 0^3) = 16/n` .

`16/n < 0,0005` geeft `n gt 32000` .