Integraalrekening > De integraal
123456De integraal

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Je ziet aan de lengte van elke staaf hoeveel instroom er dat uur is geweest. Tel al die hoeveelheden bij elkaar. Let er op dat de instroom ook negatief kan zijn, er verdampt dan water zonder dat er wat bij komt.

Bijvoorbeeld bij een verdeling in uren (neem in de applet ) is het totaal van de bovengrenzen en het totaal van de ondergrenzen .
Het gemiddelde van beide waarden is een redelijke schatting.

b

Door meer en smallere staafjes te maken, dus door in de applet te verhogen. Ga na, dat dan de som van de bovengrenzen en de som van de ondergrenzen steeds dichter bij elkaar komen.

Opgave 1
a

De stroom in m3 uitgezet tegen de tijd in uren.

b

Door per tijdsinterval te kijken hoeveel m3 water er in het spaarbekken bijkomt of afgaat van de beginhoeveelheid.

c

De ondersom is ongeveer m3 en de bovensom ongeveer m3. Daar tussenin ligt de hoeveelheid die erbij is gekomen die dag.

d

De ondersom is nu ongeveer m3 en de bovensom ongeveer m3. Daar tussenin ligt de hoeveelheid die erbij is gekomen die dag.

Opgave 2
a

Je berekent steeds hoeveel er bij komt en dus is gewoon plus de oppervlakte van alle staafjes samen. De oppervlakte van alle staafjes samen is daarom .

b

De schatting van is een schatting van de som van de oppervlaktes van de gebieden onder de grafiek als hij boven de -as ligt, minus de oppervlakte van het gebied boven de grafiek als hij onder de -as ligt.

Opgave 3
a

De ondersom is ongeveer .

b

De bovensom is ongeveer .

c

De integraal zal in de buurt liggen van .
Zelfs als je in de applet zo groot mogelijk maakt blijft er verschil tussen ondersom en bovensom. Ze naderen elkaar heel langzaam.

d

Je hebt nu uitgerekend hoeveel water er op een dag in het spaarbekken bij komt.
Dat heeft kennelijk te maken met de oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van de variabele stroom, met dien verstande dat als stroom negatief is ook het gebied als een aftrekpost geldt.

Opgave 4
a

Doen.

b

Ondersom ongeveer en bovensom ongeveer .

c

De integraal wordt .

Opgave 5
a

De ondersom is en bovensom is .

b

De integraal is ongeveer .

c

De ondersom is en bovensom is . De schatting blijft .

d

De integraal is gelijk aan de oppervlakte van de driehoek die het gebied voorstelt tussen de grafiek van en de lijn . Deze oppervlakte is .

Opgave 6
a

De ondersom is en bovensom is .

b

Doen.

c

De integraal is .

d

De ondersom is .

e

De ondersom is .
Met behulp van de gegeven formule vind je .

f

Als dan .

Opgave 7
a

Doen.

b

Doen.

c

.

d

Die oppervlakte is .

Opgave 8
a

Het voorwerp beweegt terug naar het beginpunt.

b

Na seconden is meter afgelegd. In de volgende seconden wordt meter afgelegd. Na seconden is het voorwerp meter van het beginpunt verwijderd.

c

De afgelegde afstand is gelijk aan de oppervlakte onder .

d

Je hoeft niet met onder- en bovensom te werken. Deze oppervlakte kun je meetkundig berekenen door het gebied onder de grafiek te verdelen in rechthoeken en halve rechthoeken. Je vindt m afgelegd en m vanaf het beginpunt.

Opgave 9
a

Het aantal liter olie dat uit het vat is gestroomd.

b

liter.

c

De ondersom is ongeveer liter. De bovensom is ongeveer liter. Er is dus ongeveer liter uit het vat gestroomd.

d

Dit gebeurt binnen de eerste vijf minuten waarin het uitstromen lineair gaat. Voor die periode is de uitstroomsnelheid . De oppervlakte onder de grafiek van tot moet dan liter zijn, dus: . Dit geeft minuten.

Opgave 10
a

en . De schatting is het gemiddelde van de ondersom en de bovensom, dus ongeveer .

b

en . De schatting wordt nu ongeveer .

Opgave 11
a

b

c

d

e

(GR)

f

(GR)

Opgave 12
a

b

Opgave 13
a

Doen. Je kunt alle verschillen op elkaar stapelen tot één rechthoek.

b

c

en .

d

geeft .

Opgave 14Hardloper
Hardloper
a

In een snelheid-tijd diagram is de oppervlakte onder de grafiek gelijk aan de afgelegde afstand. Op de intervallen en is dat gemakkelijk te berekenen. Op de intervallen en is dat lastiger. Daar zul je moeten schatten.

b

Als je de laagste snelheid voor de hoogte van de kolom kiest dan krijg je altijd een schatting van de afgelegde afstand, die kleiner is dan de werkelijk afgelegde afstand.

Als je de hoogste snelheid voor de hoogte van de kolom kiest dan krijg je altijd een schatting van de afgelegde afstand, die groter is dan de werkelijk afgelegde afstand.

Als je voor de hoogte van de kolom de snelheid kiest die je halverwege het interval afleest, dan krijg je op het interval een goede schatting, op de intervallen en een te hoge inschatting en op het interval een te lage inschatting. Het resultaat heeft dus een onzekere uitkomst, het kan goed zijn, te hoog of te laag.

Als je voor de hoogte van de kolom de gemiddelde snelheid kiest die je in dat interval afleest, dan krijg je op het interval een goede schatting, op de intervallen en een te lage inschatting en op het interval een te hoge inschatting. Ook het resultaat hiervan heeft een onzekere uitkomst.

c

De ondersom van de afgelegde afstand voor s is gelijk aan: m.

d

De bovensom van de afgelegde afstand voor s is gelijk aan: m.

e

Je moet de grafiek verdelen in oneindig smalle kolommen. In een oneindig smalle kolom is de laagste snelheid bij benadering gelijk aan de hoogste en dus ook bij benadering aan de werkelijke snelheid op dat moment.

f

Je kunt het hele gebied onder de grafiek verdelen in rechthoeken en halve rechthoeken.
Je krijgt zo: m.

Opgave 15
a

De ondersom is .
De bovensom is .

b

en dat getal ligt tussen de in a gevonden ondersom en bovensom.

c

Die oppervlakte is .

Opgave 16
a

De ondersom is en de bovensom is .

b

.

c

.

d

geeft .

verder | terug