Integraalrekening > De integraal
123456De integraal

Verwerken

Opgave 9

Uit een vat stroomt aan de onderkant olie. In het begin is de uitstroomsnelheid het grootst omdat dan de oliedruk op de bodem het grootst is. In de grafiek zie je hoe de uitstroomsnelheid varieert. In de eerste vijf minuten neemt de snelheid bij benadering lineair af.

a

Welke betekenis heeft de oppervlakte onder deze grafiek?

b

Hoeveel olie is er tijdens de eerste vijf minuten uit het vat gestroomd?

c

Schat de totale uitgestroomde hoeveelheid olie. Verdeel daarvoor het interval in vier gelijke delen.

d

Op welk tijdstip is er liter uit het vat gestroomd?

Opgave 10

Bekijk de grafiek van de functie op het interval .

a

Verdeel het interval in vier gelijke deelintervallen, en bepaal de onder- en bovensom bij deze verdeling. Geef hiermee een schatting van de oppervlakte tussen de grafiek van en de -as op het interval .

b

Verdeel het interval in acht gelijke intervallen en bepaal de onder- en de bovensom bij deze verdeling. Pas hiermee je schatting van de oppervlakte tussen de grafiek van en de -as op het interval aan.

Opgave 11

Bereken (alleen waar nodig met je grafische rekenmachine) de volgende integralen:

a

b

c

d

e

f

Opgave 12

Gegeven is de functie door .

a

Bereken de oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van en de -as op het interval .

b

Bereken de oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van en de -as op het interval .

Opgave 13

Als een functie overal stijgend of overal dalend is op een interval dan bestaat er een formule waarmee je het verschil tussen onder- en bovensom kunt bepalen. Die formule bepaalt de nauwkeurigheid van de benadering. Teken een stijgende functie op een interval zoals hiernaast.

a

Verdeel in vier gelijke delen en teken in de grafiek de rechthoeken die horen bij de ondersom en de rechthoeken die bij de bovensom horen.

Je kunt het interval in gelijke deelintervallen verdelen. Altijd is het verschil tussen de onder- en de bovensom gelijk aan het verschil in oppervlakte van twee rechthoeken.

b

Welke rechthoeken zijn dat en hoe groot is dat verschil bij ?

c

Hoe groot is het verschil tussen onder- en bovensom bij een benadering met rechthoeken? En bij rechthoeken?

Een voorbeeld van een stijgende functie is de sinusfunctie op het interval .

d

Voor welke waarde van is het verschil tussen onder- en bovensom kleiner dan ?

verder | terug