Integraalrekening > De integraal
123456De integraal

Uitleg

In een groot spaarbekken stroomt vrijwel voortdurend water in en ook water uit. Het verschil tussen instroom en uitstroom is de stroom in m3/uur, dus afhankelijk van de tijdin uren.
Je kunt van die stroom een grafiek maken en daarmee bepalen hoeveel water er aan het einde van een dag (ongeveer) in het spaarbekken is bijgekomen of afgegaan.
Je kunt bijvoorbeeld elk uur een ondergrens en een bovengrens van de hoeveelheid stroom vaststellen. Positieve waarden betekenen dat er meer instroom dan uitstroom is, bij negatieve waarden is dat andersom. De bovensom is het totaal van de bovengrenzen per uur, de ondersom dat van de ondergrenzen per uur.

Bekijk deze grafiek van de stroom, het verschil tussen instroom en uitstroom, in een spaarbekken. De hoeveelheid die deze dag erbij is gekomen ligt in tussen bovensom en ondersom.

Door de tijdseenheid te verkleinen, kun je bovensom en ondersom nauwkeuriger vaststellen. Ze komen dan dichter bij elkaar te liggen en je schatting wordt beter.
De ondersom is het totaal van waarin steeds het minimum van op elk deelinterval is.
De bovensom is het totaal van .
De integraal van is het getal waar bovensom en ondersom beide naar naderen.

Dit veronderstelt wel dat ze inderdaad naar hetzelfde getal naderen, een belangrijke voorwaarde voor het bestaan van de integraal.
Verdeel je het interval in gelijke deelintervallen, dan is de ondersom is het totaal van .
Dit schrijf je korter als .
En zo is de bovensom in formulevorm .
Als dan bestaat de integraal. Hij wordt aangeduid als .

Ondersommen en bovensommen zijn met de grafische rekenmachine te bepalen.
De grafische rekenmachine kan echter ook rechtsreeks een integraal voor je benaderen.
In beide gevallen heb je dan een functievoorschrift voornodig.

Opgave 1

In de Uitleg wordt de toename en de afname per uur van de hoeveelheid water in een spaarbekken beschreven. Er is een grafiek getekend die iets te maken heeft met de hoeveelheid water in het bekken.

a

Wat stelt deze grafiek precies voor?

b

Hoe kun je de totale hoeveelheid bijgekomen water aan het einde van deze dag berekenen?

c

Voer die berekening uit op basis van intervallen van uur.

d

Voer die berekening nog eens uit op basis van intervallen van uur.

Opgave 2

De hoeveelheid water in het spaarbekken op was . Je hebt aan het eind van de voorgaande opgave een schatting gemaakt van .

a

Leg uit dat je hebt berekend: .

b

De grafiek is in drie delen te verdelen: twee delen waarbij stroom positief is en een deel waarbij stroom negatief is. Welk verband bestaat er tussen deze schatting en de oppervlakte tussen deze drie delen van de grafiek en de -as?

Opgave 3

De variabele stroom wordt voorgesteld door de functie .

a

Neem een tijdsinterval van uur. Bereken de ondersom van op het interval .

b

Bereken vervolgens de bovensom van op ditzelfde interval.

c

Welke waarde schat je nu voor de integraal van over dit interval?

d

Wat stelt je antwoord bij c voor?

verder | terug