Integraalrekening > Primitieven
123456Primitieven

Voorbeeld 3

Gegeven is de functie `f` door `f(x) = ((x-2)(x-9))/(sqrt(x))` .
`V` is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van `f` en de `x` -as.
Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel met behulp van primitiveren in twee decimalen nauwkeurig.

> antwoord

Eerst de functie herschrijven: `f(x) = (x^2 - 11x + 18)/(x^(0,5)) = x^(1,5) - 11 x^(0,5) + 18 x^(text(-)0,5)` .
De primitieve van `f` is:
`F(x) = 1/(2,5)x^(2,5) - 11/(1,5)x^(1,5) + 18/(0,5)x^(0,5) + c = 2/5 x^2 sqrt(x) - 22/3 x sqrt(x) + 36 sqrt(x) + c` .

Kijkend naar de grafiek van `f` constateer je dat het gaat om de integraal van `f` op het interval `[2 , 9 ]` . Alleen zijn dan alle functiewaarden negatief en daarom de uitkomst ook.
De gevraagde oppervlakte is `int_2^9 text(-)f(x) text(d)x = text(-)F(9) - text(-)F(2) ≈ 25,23` .

Opgave 7

Bestudeer Voorbeeld 3.

a

Ga na dat de primitieven `F` van de gegeven functie `f` juist zijn.

b

Je moet nu `int_2^9 text(-) f(x)text(d)x` berekenen. Bepaal de functie `G` waarvoor `G(x) = text(-) F(x)` waarvoor geldt `G(2) = 0` .

c

Bereken met behulp van het antwoord van b de gewenste integraal.

d

Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.

Opgave 8

Gegeven is de functie `f(x) = 4 - x^2` op het interval `[text(-)4, 4]` .

a

Bepaal de primitieve `F` van `f` waarvoor geldt `F(text(-)4) = 0` .

b

Bereken met behulp van de primitieve die je bij a hebt gevonden de integraal van `f` op het gegeven interval.

c

Is deze integraal gelijk aan de oppervlakte van de gebieden ingesloten door de grafiek van `f` , de `x` -as en de lijnen `x = text(-)4` en `x = 4` ? Licht je antwoord toe.

verder | terug