Primitiveren is het terugredeneren vanuit een gegeven functie `f` die de afgeleide is van `F` naar het functievoorschrift van `F` .

Omdat `F'(x) = f(x)` , ga maar na.

`F(x) = 1/6 x^3 + 1` en `F(x) = 1/6x^3 + c` , waarin `c` een willekeurige constante is.

`F(1) = 0` , deze integraal heeft als ondergrens `1` .
De schrijfwijze `int_1^x f(x) text(d)x = F(x) - F(1)` is handig omdat je dan gewoon de basisprimitieve kunt invullen zonder met de `c` rekening te houden.

`F(4) - F(1) = 1/6*4^3 - 1/6 = 10,5` .

`F(4) - F(2) = 1/6*4^3 - 1/6*2^3 = 9 1/3` .

De integraal van `f(x) = 15 x^4` over het interval `[text(-)1, x]` .

Als `x → x+h` dan neemt `F(x)` toe met `F(x+h) - F(x) ≈ f(x)*h` , dus
`lim_(h → 0) (F(x+h) - F(x))/h = f(x)` .

`F(x) = 3x^5 + c` (controleer door differentiëren).
En omdat `F(text(-)1) = 0` , moet `c = 3` . De juiste primitieve is `F(x) = 3x^5 + 3` .

`F(2) = 3*2^5 + 3 = 99` als je meteen de juiste primitieve (dus met de goede constante) gebruikt.
Je kunt ook `F(x) = 3x^5 + c` gebruiken en dan de integraal berekenen uit `F(2) - F(1)` . Ga na, dat dit hetzelfde oplevert.

Bijvoorbeeld de machtsregel: `F(x) = 1/(r+1) * x^(r+1)` geeft `F'(x) = 1/(r+1) * (r+1) * x^(r+1 - 1) = x^r = f(x)` . Dus die regel klopt. Zo doe je ook de andere regels.

Doen! Doe eerst de opdracht zonder de antwoorden te bekijken.

Doen.

De integraal van `f(x) = sqrt(x)` over het interval `[0, x]` .

Als `x → x+h` dan neemt `F(x)` toe met `F(x+h) - F(x) ≈ f(x)*h` , dus
`lim_(h → 0) (F(x+h) - F(x))/h = f(x)` en dus is `F'(x)=f(x)` . Het vinden van een voorschrift voor `F` uit `F'(x) = f(x)` heet primitiveren (zie de theorie).

`f(x) = x^(0,5)` dus `F(x) = 2/3 x^(1,5) + c = 2/3 x sqrt(x) + c` (controleer door differentiëren).

Omdat `F(0) = 0` , moet `c = 0` . De juiste primitieve is `F(x) = 2/3 x sqrt(x)` .
`F(9) = 2/3*9*sqrt(9) = 18` .

`F(x) = x^3 - 2x^2 + x + c`

`F(x) = 0,75 x^(1 1/3) + c = 0,75x root[3](x) + c`

`F(x) = text(-)2 x^(text(-)1) + c = (text(-)2)/x + c`

`F(x) = 2/3 (3x)^(1,5)*1/3 + c = 2/3 x sqrt(3x) + c`

`F(x) = 1/3 (4x - 1)^3 * 1/4 + c = 1/12 (4x - 1)^3 + c`

`f(x) = 1 - 4x^(text(-)2)` geeft `F(x) = x + 4x^(text(-)1) + c = 4 + 4/x + c`

`f(x) = x^(text(-)2) + x^2` geeft `F(x) = text(-) x^(text(-)1) + 1/3 x^3 + c = text(-)1/x + 1/3 x^3 + c` .
`F(1) = 2` geeft `c = 2 2/3` , dus `F(x) = text(-)1/x + 1/3 x^3 + 2 2/3` .

`f(x) = 3 x^(text(-)2) - 4 x^(text(-)3)` geeft `F(x) = text(-)3 x^(text(-)1) + 2 x^(text(-)2) + c = text(-)3/x + 2/(x^2) + c` .
`F(1) = 2` geeft `c = 3` , dus `F(x) = text(-)3/x + 2/(x^2) + 3` .

`f(x) = (4 x - 2)^3` geeft `F(x) = 1/4 (4x - 2)^4*1/4 + c = 1/16 (4x - 2)^4 + c` .
`F(0) = 1` geeft `c = 0` , dus `F(x) = 1/16 (4x - 2)^4` .

`f(x)= (1 + 4x)^(text(-)0,5)` geeft `F(x) = 2 (1 + 4x)^(0,5)*1/4 + c = 1/2 sqrt(1 + 4 x) + c` .
`F(2) = 0` geeft `c = text(-)1,5` , dus `F(x) = 1/2 sqrt(1 + 4x) - 1,5` .

Controleren door differentiëren.

`G(x) = text(-) 2/5x^2sqrt(x)+22/3xsqrt(x)-36 sqrt(x)+c` met `G(2) = 0` geeft `c = 344/15sqrt(2)` .

De integraal is nu `G(9) = text(-)7,2 + 344/15 sqrt(2) ≈ 25,23` .

In het plaatje in het voorbeeld zie je dat de integraal overeen lijkt te komen met de benadering ervan door de grafische rekenmachine. Ga dit zelf na.

`F(x) = 4x - 1/3 x^3 + c` met `F(text(-)4) = 0` geeft `F(x) = 4x - 1/3 x^3 - 5 1/3` .

`int_(text(-)4)^4 f(t)text(d)t = F(4) - F(text(-)4) = text(-)10 2/3` .

Nee, want de gebieden waar de grafiek negatieve functiewaarden heeft leveren een negatieve bijdrage voor de integraal op.

`F(2)` is de integraal over het interval `[0 , 2 ]` van `f(x) = x^3 - 4 x` .
Omdat `F(x) = 0,25 x^4 - 2 x^2 + c` met `F(0)=0` , is `F(x) = 0,25 x^4 - 2 x^2` en dus `F(2 )= text(-)4` .

`F` heeft extremen als `F'(x) = x^3 - 4x = 0` , dus voor `x = 0 ∨ x = ±2` .
Omdat `x= text(-)2` vervalt, krijg je een maximum `F(0) = 0` en een minimum `F(2) = text(-)4` .

`F''(x) = 3x^2 - 4 = 0` als `x = ±sqrt(4/3)` . De negatieve waarde vervalt.

`F(sqrt(4/3))= text(-) 20/9` en `F'(sqrt(4/3))= text(-) 8/3 sqrt(4/3)` , dus `y = text(-)8/3 sqrt(4/3)*x + 4/3` .

`f(x) = (3x - 2)^4` geeft `F(x) = 1/15 (3x - 2)^5 + c` .

`f(x) = x + x^3` geeft `F(x) = 1/2 x^2 + 1/4 x^4 + c` .

`f(x) = 1 + 2x^2 + x^4` geeft `F(x) = x + 2/3 x^3 + 1/5 x^5 + c` .

`f(x) = 4(2x + 1)^(text(-)2)` geeft `F(x) = text(-)2(2x + 1)^(text(-)1) + c = text(-)2/(2x + 1) + c` .

`F(x) = 2 x^(0,5) + c = 2 sqrt(x) + c`

`F(x) = 1/36 (3x - 2)^12 + c`

`F(x) = 2/7 x^(3,5) + 8/3 x^(1,5) + c = 2/7 x^3 sqrt(x) + 8/3 x sqrt(x) + c`

`F(x) = 1/5 (3x + 5)^5 + c`

`int_0^2 f(t) text(d)t`

`F(x) = 3x^2 - x^3 + c` met `F(0) = 0` geeft `F(x) = 3x^2 - x^3` .

De gewenste oppervlakte is `F(2) = 4` .

Klopt.

De primitieve van `a*t^0` is `int a*t^0 text(d)t = 1/1 a*t^(0+1) + c = a*t + c` .
Dus `v(t) = a*t + c` en neem je daarin `t = 0` , dan is `v(0) = c` .

Ja, want een versnelling is een verandering van snelheid, dus `a(t)` is de afgeleide van `v(t)` .

`int v(t) text(d)t = int v(0) + a*t text(d)t = v(0)*t + 1/2 a*t^2 + c`

De afgelegde weg `s(t) = v(0)t + 1/2 at^2 + s(0)` in m.

`int_0^4 f(t) text(d)t`

`F(x) = text(-)2/3 (4 - x)^(1,5) + c= text(-)2/3 (4 - x)sqrt(4 - x) + c` met `F(0) = 0` geeft `F(x) = text(-)2/3(4 - x)sqrt(4 - x) + 16/3` .

De gewenste oppervlakte is `F(4) = 16/3` .

De grafische rekenmachine geeft ongeveer `5,333` (maar niet precies `5 1/3` ).

`F(x) = 2/3 x sqrt(2x) + sqrt(2x) + c` met `F(0) = 1` geeft `F(x) = 2/3 x sqrt(2x) + sqrt(2x) + 1` .

`F(x)= text(-)(3x+4)^(text(-)1) + c= (text(-)1)/(3x+4) + c` met `F(0)=1` geeft `F(x) = (text(-)1)/(3x+4) + 1,25` .