Onder integreren versta je het berekenen van een integraal met behulp van primitiveren.
Je maakt daarbij gebruik van de hoofdstelling van de integraalrekening, die zegt dat:
`int_a^b f(x)text(d)x = F(b) - F(a)`
waarin
`F`
een primitieve van
`f`
is. Let er wel op dat de functie
`f`
geen verticale asymptoten mag hebben op het interval
`[a, b]`
.
Meestal noteer je
`F(b) - F(a)`
als
`[F(x)]_a^b`
.
De kunst hierbij is natuurlijk het vinden van
`F(x)`
door
"omgekeerd differentiëren"
, door omkeren van de differentieerregels...
Bekijk de functie
`f`
met
`f(x) = x/((1 + x^2)^3)`
.
Je kunt met je GR gemakkelijk de integraal van
`f`
op het interval
`[text(-)1, 1]`
berekenen, uitkomst
`0`
. Verder kun je de oppervlakte berekenen van het vlakdeel
`V`
ingesloten door de grafiek van
`f`
, de
`x`
-as en de lijnen
`x = text(-)1`
en
`x = 1`
. Het gaat daarbij echter om benaderingen...
Wil je die oppervlakte exact bepalen, dan moet je een primitieve vinden van
`f(x) = x(1 + x^2)^(text(-)3)`
.
Het vinden van die primitieve kan door terugrekenen vanuit de kettingregel. Je moet
dan herkennen, dat
`x = 1/2 * 2x`
en dat
`2x`
de afgeleide is van
`g(x) = 1 + x^2`
.
Dus is
`x(1 + x^2)^(text(-)3) = 1/2 (g(x))^(text(-)3) * g'(x)`
en is een primitieve
`F(x) = 1/2 * text(-)1/2 (g(x))^(text(-)2)`
.
De oppervlakte van
`V`
is:
`2 * int_0^1 x/((1 + x^2)^3) text(d)x = 2 * [text(-)1/4 (1 + x^2)^(text(-)2)]_0^1 =
3/8`
.
In de
Je weet uit het voorgaande onderdeel dat als
`F(x) = int_a^x f(t) text(d)t`
geldt
`F'(x) = f(x)`
. Dat dit alleen opgaat voor mooie brave functies (aaneengesloten grafieken zonder
verticale asymptoten) is niet ter sprake gekomen.
Waarom moet `F(a) = 0` ?
Leg uit waarom `int_a^b f(t) text(d)t = F(b)-F(a)` .
Bereken met behulp van de hoofdstelling voor de integraalrekening `int_(text(-)1)^1 x^2 text(d)x` .
Welk probleem doet zich voor als je `int_(text(-)1)^1 1/(x^2) text(d)x` wilt berekenen? Wat doet je grafische rekenmachine hiermee?
Bestudeer hoe in de
Controleer de gevonden primitieve door differentiëren.
Bereken op dezelfde manier `int_0^1 6x(1 + x^2)^3 text(d)x` .