Omdat de integraal over het interval `[a, a]` uiteraard de grootte `0` heeft.

Als `F(x) = int_a^x f(t) text(d)t` dan is `F'(x) = f(x)` betekent omgekeerd dat `int_a^b f(t) text(d)t = F(x) + c` .
Nu moet `c` zo worden gekozen dat `F(a) = 0` en dan is `c = text(-) F(a)` . Dus `int_a^x f(t)text (d)t = F(x) - F(a)` .
Vervang nu `x` door `b` en je hebt je hoofdstelling.

Een primitieve van `f(x) = x^2` is `F(x) = 1/3 x^3` .
En dus is `int_(text(-)1)^1 x^2 text(d)x = F(1) - F(text(-)1) = 1/3 - text(-)1/3 = 2/3` .
Ga na, dat je ook rustig een andere primitieve van `f` kunt gebruiken.

De functie `f(x) = 1/(x^2)` heeft een verticale asymptoot voor `x = 0` . De grafische rekenmachine geeft een foutmelding.
Maar je moet hier wel goed op letten. Je kunt namelijk gewoon een primitieve maken: `F(x) = text(-) 1/x` en dan de hoofdstelling toepassen geeft een integraal van `text(-)1 - 1 = text(-)2` . Dat is echter een onzinnig antwoord.

Doen.

Een primitieve van `f(x) = 6x(1 + x^2)^3 = 3*2x*(1 + x^2)^3` is `F(x) = 3*1/4*(1 + x^2)^4` .
Dus `int_0^1 6x(1 + x^2)^3 text(d)x = F(1) - F(0) = 12 - 0,75 = 11,25` .

`int_1^3 (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) text(d)x = [1/4 x^4 - 2x^3 + 11/2 x^2 - 6x]_1^3 = 0`

De somregel en de constanteregel.

Nee, bekijk je de grafiek dan ligt een gedeelte van het gevraagde gebied boven de `x` -as en een gedeelte eronder.

De nulpunten zijn `(1, 0)` , `(2, 0)` en `(3, 0)` .

De gevraagde oppervlakte is `2 * int_2^3 f(x) text(d)x = 0,5` .

`x^4 - 8x^2 - 9 = 0` geeft `(x^2 + 1)(x^2 - 9) = 0`  en dus `x = ±3` . De nulpunten zijn `(±3 ,0 )` .

De oppervlakte is `text(-) int_(text(-)3)^3 (1/4 x^4 - 2x^2 - 2 1/4) text(d)x = [text(-)1/20 x^5 + 2/3 x^3 + 2 1/4 x]_(text(-)3)^3 = 25,2` .

De raaklijn gaat door `(3, 0)` en heeft richtingscoëfficiënt `f'(3) = 15` . Een vergelijking hiervan is `y = 15x - 45` .
De oppervlakte van het bedoelde gebied is
`int_0^3 (1/4x^4 - 2x^2 - 2 1/4 - 15x + 45 )text(d)x = [1/20 x^5 - 2/3 x^3 - 15/2 x^2 + 42 3/4 x ]_0^3 = 54,9` .

Een halve cirkel met middelpunt `O(0, 0)` en straal `1` .

`≈1,57`

Er is sprake van een samengestelde functie, maar je kunt de substitutieregel niet eenvoudig toepassen omdat de afgeleide van `1 - x^2` niet in het functievoorschrift voorkomt.

`1/2*π*1^2 = 0,5π` .

Doen, probeer vooral het gebruik van de substitutieregel goed uit te voeren.

`int_(text(-)1)^1 x sqrt(1 - x^2)text(d)x = int_(text(-)1)^1 text(-)1/2*text(-)2x*(1 - x^2)^(0,5) text(d)x = [text(-)1/2*2/3(1 - x^2)^(1,5)]_(text(-)1)^1 = 0` .

Die oppervlakte is `2*[text(-)1/2*2/3(1 - x^2)^(1,5)]_0^1 = 2/3` .

`int_1^9 (1 + sqrt(x))/(sqrt(x)) text(d)x = int_1^9 2 * 1/(2sqrt(x))(1 + sqrt(x)) text(d)x = [2*1/2 ((1 + sqrt(x)))^2]_1^9 = 12` .

`int_1^9 (1 + sqrt(x))/(sqrt(x)) text(d)x = int_1^9 (x^(text(-) 1/2) + 1) text(d)x = [2sqrt(x) + x]_1^9 = 12` .

`int_0^1 3/((2x + 1)^4) text(d)x = [text(-)1/(2(2x + 1)^3)]_0^1 = 13/27`

`int_0^1 x/((x^2 + 1)^4)text(d)x = [text(-)1/(6(x^2 + 1)^3)]_0^1 = 7/48`

`int_1^2 ((x + 1)^2)/(x^4) text(d)x = [text(-)1/x - 2/(3x^2) - 1/(3x^3)]_1^2 = 1 7/24`

`int_(text(-)3)^1 text(-)2/(sqrt(3 - 2x)) text(d)x = [2sqrt(3 - 2x)]_(text(-)3)^1 = text(-)4`

Nulpunten `(±2 , 0)` en `(4 , 0)` .
Max. `f(text(-)0,43) ≈ 8,45` en min. `f(3,09) ≈ text(-)2,52` .

De oppervlakte van `V` is `int_(text(-)2)^4 f(x)text(d)x = [1/8 x^4 - 2/3 x^3 - x^2 + 8x]_(text(-)2)^2 + [1/8 x^4 - 2/3 x^3 - x^2 + 8x]_2^4 = 24 2/3` .

De raaklijn heeft vergelijking `y = text(-)4x + 8` .
De oppervlakte van `W` is `int_0^2 f(x) text(d)x - int_0^2 (text(-)4x + 8) text(d)x = 2/3` .

Nulpunten berekenen geeft `(±sqrt(3), 0)` en `(0, 0)` .
De gevraagde oppervlakte is `2 * int_0^(sqrt(3)) f(x) text(d)x = 4,5` .

`int_0^p f(x) text(d)x = int_p^(sqrt(3)) f(x) text(d)x` geeft: `3/2 p^2 - 1/4 p^4 = 9/4 - 3/2 p^2 + 1/4 p^4` en dus `2 p^4 - 12p^2 + 9 = 0` .
Dit levert op `p^2 = (12 ± sqrt(72))/4` en dus `p ≈ 0,94` .

`f(x) = text(-) x^(text(-)2) + 2x^(text(-)3) + 3 x^(text(-)4)` geeft `F(x) = 1/x - 1/(x^2) - 1/(x^3) + c` .

`f(x) = (2x+5)^(3,5)` geeft `F(x) = 1/9 (2x+5)^4 sqrt(2x+5) + c` .

`f(x) = text(-)1/3*text(-)3x^2*(6 - x^3)^(0,5)` geeft `F(x)= text(-)2/9(6 - x^3)sqrt(6 - x^3) + c` .

`f(x) = 1/2*2x*(1 + x^2)^(text(-)0,5)` geeft `F(x) = sqrt(1 + x^2) + c` .

Omdat `f(x) = x^(text(-)1)` en bij het toepassen van de machtsregel voor primitiveren krijg je dan `F(x) = 1/0*x^0` en delen door nul geeft geen reële waarden.

Met de GR vind je ongeveer `1,386` .

Omdat `f` voor `x = 0` een verticale asymptoot heeft. Maar je zou vanwege de symmetrie van de grafiek denken dat `int_(text(-)1)^1 1/xtext(d)x = 0` .

`f(x) = (3x + 1)^(1/5)` geeft `F(x) = 5/18(3x + 1)root[5](3x + 1) + c` en dus is `int_0^1 root[5](3x + 1) text(d)x = 10/9 root[5](4) - 5/18` .

`f(x) = 2 - x^(text(-)2)` geeft `F(x) = 2x + 1/x + c` en dus is `int_1^4 (2x^2 - 1)/(x^2) text(d)x = 5,25` .

`f(x) = 2*2x*(1 + x^2)^(text(-)2)` geeft `F(x) = (text(-)2)/(1 + x^2) + c` en dus is `int_(text(-)1)^1 (4x)/((1 + x^2)^2) text(d)x = 0` .