Integraalrekening > IntegrerenVoorbeeld 1
Gegeven is de functie
`f`
met
`f(x) = 0,5x^4 - 4x^2`
.
Bereken met behulp van integreren de integraal van
`f`
op het interval
`[0, 3]`
en de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van
`f`
, de
`x`
-as en de lijn
`x = 3`
.
Bij het primitiveren gebruik je in feite twee integreerregels: de constante-regel
en de somregel. Maar waarschijnlijk let je daar nauwelijks op, een functie zoals dit
is eenvoudig te primitiveren:
`F(x) = 0,5 * 1/5 x^5 - 4 * 1/3 x^3 + c = 1/10 x^5 - 4/3 x^3 + c`
.
De gevraagde integraal is: `int_0^3 f(x) text(d)x = [1/10 x^5 - 4/3 x^3 + c]_0^3 = text(-)11,7` .
Voor het berekenen van de gewenste oppervlakte moet je nu de grafiek van
`f`
bekijken. Want bij een integraal leveren gebieden met negatieve functiewaarden ook
een negatieve uitkomst op. In dit geval zie je dat er zowel een gebied met negatieve
als een gebied met positieve functiewaarden is. Je berekent dus eerst de nulpunten
van
`f`
. Ga na dat dat dit
`(text(-)sqrt(8), 0)`
,
`(0, 0)`
en
`(sqrt(8), 0)`
zijn.
Voor de oppervlakte tel je nu twee integralen bij elkaar op:
`text(opp)(V) = int_0^(sqrt(8)) text(-) f(x) text(d)x + int_(sqrt(8))^3 f(x) text(d)x`
Ga zelf na dat de oppervlakte wordt: `text(opp)(V) = 125/15 sqrt(8) - 11,7` .
Gegeven is de functie `f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6` .
Bereken de integraal van `f` over het interval `[1, 3]` .
Welke integreerregels heb je nu gebruikt? Bekijk eventueel
Heb je met de integraal uit a de oppervlakte van een gebied berekend? Waarom?
Breng de grafiek van `f` in beeld zo, dat je het gebied ingesloten door de grafiek van `f` en de `x` -as kunt zien.
Welke nulpunten heeft `f` ?
Bereken de oppervlakte van het beschreven gebied. Bekijk eventueel
Gegeven is de functie `f(x) = 1/4 x^4 - 2x^2 - 2 1/4` .
Bereken de nulpunten van de functie `f` . Breng de grafiek van de functie in beeld.
Bereken de oppervlakte van het gebied `V` dat ingesloten is door de grafiek van `f` en de `x` -as.
De raaklijn aan de grafiek van `f` in het punt van `f` met `x` -coördinaat `3` , de `y` -as en de grafiek van `f` sluiten een gebied in. Bereken de oppervlakte daarvan.
De integraal `int_(text(-)1)^1 sqrt(1 - x^2) text(d)x` kun je zien als de oppervlakte van een bepaald gebied.
Welke vorm heeft dat gebied? Breng het in beeld met je grafische rekenmachine.
Bepaal deze oppervlakte met de grafische rekenmachine.
Waarom kun je deze oppervlakte niet exact berekenen met behulp van de tot nu toe genoemde integreerregels?
Bereken de exacte oppervlakte van dit gebied met behulp van meetkundige kennis.