Integraalrekening > Integreren
123456Integreren

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie `f` met `f(x) = xsqrt(4 -x^2)` .
Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van `f` en de `x` -as.

> antwoord

Voor het primitiveren van `f` kun je terugrekenen vanuit de kettingregel.
Herken, dat de afgeleide van `g(x) = 4 - x^2` is `g'(x) = text(-)2 x` .
Omdat `x = text(-) 1/2 * text(-)2 x` , kun je `f` schrijven als: `f(x) = text(-)1/2*g'(x)*(g(x))^(0,5)` .
En dus is `F(x) = text(-)1/2 * 1/(1,5) * (g(x))^(1,5) + c = text(-)1/3(4 - x^2)sqrt(4 - x^2) + c` .

Met behulp van de grafiek zie je dat de gevraagde oppervlakte is:
`opp(V) = 2 * int_0^2 f(x) text(d)x = [text(-)1/3(4 - x^2)sqrt(4 - x^2) + c]_0^2 = 16/3`

Opgave 6

In Voorbeeld 2 wordt bij het integreren ook gebruik gemaakt van de substitutieregel.

a

Loop het voorbeeld na.

b

Bereken `int_(text(-)1)^1 x sqrt(1 - x^2) text(d)x` .

c

Bereken de exacte oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van `f(x) = x sqrt(1 - x^2)` en de `x` -as.

Opgave 7

De integraal `int_1^9 (1 + sqrt(x))/(sqrt(x)) text(d)x` kun je op twee manieren exact berekenen.

a

Doe dit eerst door van de substitutieregel gebruik te maken.

b

Je kunt dit ook doen door de deling uit te voeren. Laat zien dat je dan hetzelfde krijgt.

verder | terug