Integraalrekening > Oppervlakte en lengte
123456Oppervlakte en lengte

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`y_1 =sqrt(1 -x^2)` en `y_2 =- sqrt(1 -x^2)`

b

De oppervlakte is `2 * int_(text(-)1)^1 sqrt(1 - x^2)dx` .

c

Gebruik je GR.

d

En? Zie anders het vervolg van dit onderdeel.

Opgave 1
a

De gevraagde oppervlakte is `int_1^2 (x^3-x^2)text(d)x=[ 1/4x^4-1/3x^3 ]1 2 =17/12` .

b

De lijn `y=2` snijdt de grafiek van `f` in `(±sqrt(2 ), 2 )` en die van `g` in `(root3 (2 ), 0 )` . De gevraagde oppervlakte is `int_1^(root3 (2)) (x^3-x^2)text(d)x + int_(root3 (2))^(sqrt(2)) (2 -x^2)text(d)x ≈ 0,079` .

Opgave 2
a

Elk lijnstukje is de hypothenusa van een rechthoekig driehoekje met rechthoekszijden `∆x` en `∆y_k` . En dus bereken je de lengte ervan met de stelling van Pythagoras.

b

Doen.

c

`L = int_0^1 sqrt(1 + (g′(x))^2)dx = int_0^1 sqrt(1 + (3 x^2)^2)text(d)x ≈ 1,55` .

Opgave 3

Bereken eerst de snijpunten van beide grafieken door `f(x)=g(x)` op te lossen. Je vindt `(text(-)2 , 0 )` en `(1 , 3 )` .
Nu is `text(opp)(V) = int_(text(-)2)^1 (4 -x^2-(x+2 ))text(d)x = int_(text(-)2)^1 (text(-) x^2-x+2 )text(d)x = [text(-) 1/3x^3-1/2x^2+2 x]_(text(-)2)^1 = 4,5` .

Opgave 4
a

`g′(x)=1` .
`L = int_(text(-)2)^1 sqrt(1 +1^2)text(d)x = [ sqrt(2 )*x ]_(text(-)2)^1 = 3 sqrt(2 )` .

b

Met de stelling van Pythagoras: `L=sqrt(3^2+3^2)=sqrt(18 )=3 sqrt(2 )` .

c

`f ′(x) = text(-)2 x`
De gevraagde omtrek is `3 sqrt(2 ) + int_(text(-)2)^1 sqrt(1 + (text(-)2 x) ^2)text(d)x ≈ 10,37` .

Opgave 5
a

`2 * int_(text(-)2)^2 sqrt(4 - x^2) text(d)x ~~ 12,57` .

b

`2 * int_(1)^2 sqrt(4 - x^2) text(d)x ~~ 2,46` .
De snijpunten van `x = 1` met de cirkel zijn `A(1,-sqrt(3))` en `B(1,sqrt(3))` .
Het vlakdeel vormt samen met driehoek `OAB` een cirkelsector.
De sectorhoek `AOB` is `120` ° dus de cirkelsector is éénderde deel van de hele cirkel en heeft daarom een oppervlakte van `1/3 * pi * 2^2 = 4/3 pi` . De oppervlakte van driehoek `OAB` is `sqrt(3)` . Dus het vlakdeel heeft een oppervlakte van `4/3 pi - sqrt(3) ~~ 2,46` .

c

De afgeleide van `f(x) = sqrt(4 - x^2)` is `f'(x) = (text(-)x)/(sqrt(4 - x^2))` .
De omtrek van de cirkel is `2 * int_(text(-)2)^2 sqrt(1 + ((text(-)x)/(sqrt(4 - x^2)))^2) text(d)x = 2 * int_(text(-)2)^2 sqrt(4/(4 - x^2)) text(d)x ~~ 12,57` .

Opgave 6
a

De oppervlakte is `int_(text(-)1)^2 (g(x) text(-) f(x)) text(d)x = int_(text(-)1)^2 (text(-)2x^2 + 2x + 4) text(d)x` .
Dat geeft: `[text(-)2/3x^3+x^2+4 x ]_(text(-)1)^2 = (text(-)16/3+4 +8 ) - (2/3+1 - 4 )=9` .

b

De oppervlakte is `int_(2)^4 (f(x) - g(x)) text(d)x = int_(2)^4 (2x^2 - 2x - 4) text(d)x` .
Dat geeft: `[ 2/3x^3-x^2-4 x ]_2^4 = (128/3-16 -16 ) - (16/3-4 -8 ) = 17 1/3` .

Opgave 7

Je moet oplossen `int_a^3 sqrt(3 -x)text(d)x=18` .
Na primitiveren en invullen van de grenzen krijg je `2/3(3 - a)sqrt(3 - a)=18` . Dit geeft `a = text(-)6` .

Opgave 8
a

`int_1^2 sqrt(1 + (3 x^2 - 1/ (12 x^2)) ^2)text(d)x ≈ 7,04`

b

`int_1^4 sqrt(1 + (3/(2sqrt(x))) ^2)dx = int_1^4 sqrt(1 +9/4x)text(d)x ≈ 7,63`

Opgave 9
a

De nulpunten zijn: `(text(-)3, 0), (text(-)2, 0), (2, 0)` en `(3, 0)` .
De extremen zijn: max. `f(0) = 36` en min. `f(+text(-)1/2 sqrt(26)) = text(-)6,25` .

b

`text(opp)(V) = int_(text(-)2)^2 (x^4-13 x^2+36 )text(d)x` geeft `[ 1/5x^5-13/3x^3+36 x ]_(text(-)2)^2 = 87 7/15` .

c

De raaklijn in `(3, 0)` met `f '(3) = 30` heeft vergelijking `y = 30x - 90` .
`text(opp)(W) = int_0^3 (x^4-13 x^2+36 -30 x+90 )text(d)x`  en dit geeft `[ 1/5x^5-13/3x^3-15 x^2+126 x ]_0^3 = 174,6` .

Opgave 10

De snijpunten van de lijn en de grafiek vind je uit de vergelijking: `x+1/x=2 1/2` . Dit geeft `x=0,5 ∨x=2` .
De oppervlakte is `int_(0,5)^2 (2 1/2-x-1/x)text(d)x` . Deze integraal kun je op dit moment alleen met de GR bepalen. Je vindt: `≈0,4887` .

Opgave 11
a

De grafieken snijden elkaar in `(text(-)2, 0)` en `(2, 0)` . Verder gaat de grafiek van `g` ook door `(0, text(-)4)` . Teken de lijn `x = p` , waarbij `text(-)2 < p < 0` .
De oppervlakte van `Delta OAB` is `1/2 * text(-)p * |AB| = text(-)1/2 p * (f(p) - g(p)) = text(-)1/2 p ((p^2 - 4)(2p + 1) - (p^2 - 4)) = text(-)p^4 + 4p^2 = 3` .
Deze vergelijking is te ontbinden in `(p^2 - 3)(p^2 - 1) = 0` . Dit geeft als enige mogelijkheden `p = text(-)1 vv p = text(-)sqrt(3)` .

b

`(ax^2-4 )(2 x+1 )=(ax^2-4 )` geeft `ax^2-4 =0 ∨2 x+1 =1` en dus `x=±sqrt(4/a)∨x=0` .
Nu kun je de oppervlaktes van de twee vlakdelen bepalen met behulp van primitiveren.
Na veel gedoe met haakjes vind je dat beide oppervlaktes gelijk zijn aan `8/a` .

Opgave 12
a

Vensterinstellingen bijvoorbeeld `[0, 12] xx [text(-)2, 3]` .

b

De snijpunten met de assen bereken je algebraïsch: `x + 3 - 4sqrt(x) = 0` geeft `4sqrt(x) = x + 3` en dus `16x = x^2 + 6x + 9` . Hieruit vind je `x = 1 vv x = 9` .
De raaklijn in `(1, 0)` is `y = text(-)x + 1` . De raaklijn in `(9, 0)` is `y = 1/3 x - 3` .
Hun snijpunt (algebraïsch) is `(3, text(-)2)` .
De oppervlakte van de gevraagde driehoek wordt daarom `1/2 * 8 * 2 = 8` .

c

De lengte is `int_1^9 sqrt(1 + (1 - 2/ (sqrt(x)) ) ^2)text(d)x = int_1^9 sqrt(2 - 4/ (sqrt(x)) +4/x)text(d)x ≈ 8,366164` .

Opgave 13
a

Nulpunten (algebraïsch) zijn `(2 , 0 )` en `(4 , 0 )` .

b

`text(opp)(G) = int_0^2 (4 - 4 (x-3)^(text(-)2) )text(d)x= [ 4 x+4/ (x-3) ]_0^2 = 5 1/3`

c

`f '(x) = 8/((x - 3)^3)` , dus de totale omtrek is `2 + 3 5/9 + int_0^2 sqrt(1 + (8/((x - 3)^3))^2) text(d)x ~~ 9,93` .

Opgave 14
a

Doen.

b

`text(opp)(G)= int_0^(root3 (4 )) (4 -xsqrt(x)-2 )text(d)x = int_0^(root3 (4 )) (2 - x^ (1 1/2) )text(d)x = [ 2 x - 2/5x^ (2 1/2) ]_0^(root3 (4 )) ≈ 1,90`

c

`int_1^4 sqrt(1 + (text(-)3/2 x^ (1/2) ) ^2)text(d)x = int_1^4 sqrt(1 +9/4x)text(d)x = [ 2/3 (1 +9/4x)^(3/2) *4/9 ]_1^4 ≈ 7,63`

verder | terug