`y_1 = sqrt(1 - x^2)` en `y_2 = text(-)sqrt(1 - x^2)`
De oppervlakte is `2 * int_(text(-)1)^1 sqrt(1 - x^2) text(d)x` .
Gebruik je GR.
En? Zie anders het vervolg van dit onderdeel.
De gevraagde oppervlakte is `int_1^2 (x^3 - x^2) text(d)x = [1/4 x^4 - 1/3 x^3]_1^2 = 17/12` .
De lijn `y = 2` snijdt de grafiek van `f` in `(±sqrt(2), 2)` en die van `g` in `(root[3](2), 0)` . De gevraagde oppervlakte is `int_1^(root[3](2)) (x^3 - x^2) text(d)x + int_(root[3](2))^(sqrt(2)) (2 - x^2) text(d)x ≈ 0,079` .
Elk lijnstukje is de hypotenusa van een rechthoekig driehoekje met rechthoekszijden `∆x` en `∆y_k` . En dus bereken je de lengte ervan met de stelling van Pythagoras.
Doen.
`L = int_0^1 sqrt(1 + (g'(x))^2) dx = int_0^1 sqrt(1 + (3x^2)^2) text(d)x ≈ 1,55` .
Bereken eerst de snijpunten van beide grafieken door
`f(x) = g(x)`
op te lossen. Je vindt
`(text(-)2, 0)`
en
`(1, 3)`
.
Nu is
`text(opp)(V) = int_(text(-)2)^1 (4 - x^2 - (x + 2)) text(d)x = int_(text(-)2)^1 (text(-)x^2
- x + 2) text(d)x = `
`[text(-)1/3 x^3 - 1/2 x^2 + 2x]_(text(-)2)^1 = 4,5`
.
`g'(x)=1`
.
`L = int_(text(-)2)^1 sqrt(1 + 1^2) text(d)x = [ sqrt(2)*x ]_(text(-)2)^1 = 3 sqrt(2)`
.
Met de stelling van Pythagoras: `L = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(18) = 3 sqrt(2)` .
`f'(x) = text(-)2 x`
De gevraagde omtrek is
`3 sqrt(2) + int_(text(-)2)^1 sqrt(1 + (text(-)2x)^2) text(d)x ≈ 10,37`
.
`2 * int_(text(-)2)^2 sqrt(4 - x^2) text(d)x ~~ 12,57` .
`2 * int_(1)^2 sqrt(4 - x^2) text(d)x ~~ 2,46`
.
De snijpunten van
`x = 1`
met de cirkel zijn
`A(1, text(-)sqrt(3))`
en
`B(1, sqrt(3))`
.
Het vlakdeel vormt samen met driehoek
`OAB`
een cirkelsector.
De sectorhoek
`AOB`
is
`120^@`
dus de cirkelsector is éénderde deel van de hele cirkel en heeft daarom een oppervlakte
van
`1/3 * pi * 2^2 = 4/3 pi`
. De oppervlakte van driehoek
`OAB`
is
`sqrt(3)`
. Dus het vlakdeel heeft een oppervlakte van
`4/3 pi - sqrt(3) ~~ 2,46`
.
De afgeleide van
`f(x) = sqrt(4 - x^2)`
is
`f'(x) = (text(-)x)/(sqrt(4 - x^2))`
.
De omtrek van de cirkel is
`2 * int_(text(-)2)^2 sqrt(1 + ((text(-)x)/(sqrt(4 - x^2)))^2) text(d)x = 2 * int_(text(-)2)^2
sqrt(4/(4 - x^2)) text(d)x ~~ 12,57`
.
De oppervlakte is
`int_(text(-)1)^2 (g(x) text(-) f(x)) text(d)x = int_(text(-)1)^2 (text(-)2x^2 + 2x
+ 4) text(d)x`
.
Dat geeft:
`[text(-)2/3 x^3 + x^2 + 4x]_(text(-)1)^2 = (text(-)16/3 + 4 + 8) - (2/3 + 1 - 4) =
9`
.
De oppervlakte is
`int_(2)^4 (f(x) - g(x)) text(d)x = int_(2)^4 (2x^2 - 2x - 4) text(d)x`
.
Dat geeft:
`[2/3 x^3 - x^2 - 4x ]_2^4 = (128/3 - 16 - 16 ) - (16/3 - 4 - 8 ) = 17 1/3`
.
Je moet oplossen
`int_a^3 sqrt(3 - x) text(d)x = 18`
.
Na primitiveren en invullen van de grenzen krijg je
`2/3(3 - a)sqrt(3 - a) = 18`
. Dit geeft
`a = text(-)6`
.
`int_1^2 sqrt(1 + (3x^2 - 1/(12x^2))^2)text(d)x ≈ 7,04`
`int_1^4 sqrt(1 + (3/(2sqrt(x)))^2) dx = int_1^4 sqrt(1 + 9/4 x) text(d)x ≈ 7,63`
De nulpunten zijn:
`(text(-)3, 0)`
,
`(text(-)2, 0)`
,
`(2, 0)`
en
`(3, 0)`
.
De extremen zijn: max.
`f(0) = 36`
en min.
`f(+text(-)1/2 sqrt(26)) = text(-)6,25`
.
`text(opp)(V) = int_(text(-)2)^2 (x^4 - 13x^2 + 36) text(d)x` geeft `[1/5 x^5 -13/3 x^3 + 36x]_(text(-)2)^2 = 87 7/15` .
De raaklijn in
`(3, 0)`
met
`f'(3) = 30`
heeft vergelijking
`y = 30x - 90`
.
`text(opp)(W) = int_0^3 (x^4 - 13x^2 + 36 - 30x + 90) text(d)x`
en dit geeft
`[1/5x^5 - 13/3 x^3 - 15x^2 + 126x ]_0^3 = 174,6`
.
De snijpunten van de lijn en de grafiek vind je uit de vergelijking:
`x + 1/x = 2 1/2`
. Dit geeft
`x = 0,5 ∨ x = 2`
.
De oppervlakte is
`int_(0,5)^2 (2 1/2 - x - 1/x) text(d)x`
. Deze integraal kun je op dit moment alleen met de GR bepalen. Je vindt:
`≈0,4887`
.
De grafieken snijden elkaar in
`(text(-)2, 0)`
en
`(2, 0)`
. Verder gaat de grafiek van
`g`
ook door
`(0, text(-)4)`
. Teken de lijn
`x = p`
, waarbij
`text(-)2 < p < 0`
.
De oppervlakte van
`Delta OAB`
is
`1/2 * text(-)p * |AB| = text(-)1/2 p * (f(p) - g(p)) = text(-)1/2 p ((p^2 - 4)(2p
+ 1) - (p^2 - 4)) = text(-)p^4 + 4p^2 = 3`
.
Deze vergelijking is te ontbinden in
`(p^2 - 3)(p^2 - 1) = 0`
. Dit geeft als enige mogelijkheden
`p = text(-)1 vv p = text(-)sqrt(3)`
.
`(ax^2 - 4)(2x + 1) = (ax^2 - 4)`
geeft
`ax^2 - 4 = 0 ∨ 2x + 1 = 1`
en dus
`x = ±sqrt(4/a) ∨ x = 0`
.
Nu kun je de oppervlaktes van de twee vlakdelen bepalen met behulp van primitiveren.
Na veel gedoe met haakjes vind je dat beide oppervlaktes gelijk zijn aan
`8/a`
.
Vensterinstellingen bijvoorbeeld `[0, 12] xx [text(-)2, 3]` .
De snijpunten met de assen bereken je algebraïsch:
`x + 3 - 4sqrt(x) = 0`
geeft
`4sqrt(x) = x + 3`
en dus
`16x = x^2 + 6x + 9`
. Hieruit vind je
`x = 1 vv x = 9`
.
De raaklijn in
`(1, 0)`
is
`y = text(-)x + 1`
. De raaklijn in
`(9, 0)`
is
`y = 1/3 x - 3`
.
Hun snijpunt (algebraïsch) is
`(3, text(-)2)`
.
De oppervlakte van de gevraagde driehoek wordt daarom
`1/2 * 8 * 2 = 8`
.
De lengte is `int_1^9 sqrt(1 + (1 - 2/(sqrt(x)) ^2)text(d)x = int_1^9 sqrt(2 - 4/(sqrt(x)) + 4/x) text(d)x ≈ 8,366164` .
Nulpunten (algebraïsch) zijn `(2 , 0 )` en `(4 , 0 )` .
`text(opp)(G) = int_0^2 (4 - 4 (x-3)^(text(-)2)) text(d)x= [ 4x + 4/(x-3) ]_0^2 = 5 1/3`
`f'(x) = 8/((x - 3)^3)` , dus de totale omtrek is `2 + 3 5/9 + int_0^2 sqrt(1 + (8/((x - 3)^3))^2) text(d)x ~~ 9,93` .
Doen. Maak eventueel eerst de grafiek van `f` op de GR met venster `[0, 2]xx[0, 5]` .
`text(opp)(G)= int_0^(root[3](4)) (4 - x sqrt(x) - 2) text(d)x = int_0^(root[3](4)) (2 - x^(1 1/2)) text(d)x = [2x - 2/5 x^(2 1/2)]_0^(root[3](4)) ≈ 1,90`
`int_1^4 sqrt(1 + (text(-)3/2 x^(1/2))^2) text(d)x = int_1^4 sqrt(1 + 9/4 x) text(d)x = [2/3(1 + 9/4 x)^(3/2) * 4/9]_1^4 ≈ 7,63`