Integraalrekening > Oppervlakte en lengte
123456Oppervlakte en lengte

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`y_1 = sqrt(1 - x^2)` en `y_2 = text(-)sqrt(1 - x^2)`

b

De oppervlakte is `2 * int_(text(-)1)^1 sqrt(1 - x^2) text(d)x` .

c

Gebruik je GR.

d

En? Zie anders het vervolg van dit onderdeel.

Opgave 1
a

De gevraagde oppervlakte is `int_1^2 (x^3 - x^2) text(d)x = [1/4 x^4 - 1/3 x^3]_1^2 = 17/12` .

b

De lijn `y = 2` snijdt de grafiek van `f` in `(±sqrt(2), 2)` en die van `g` in `(root[3](2), 0)` . De gevraagde oppervlakte is `int_1^(root[3](2)) (x^3 - x^2) text(d)x + int_(root[3](2))^(sqrt(2)) (2 - x^2) text(d)x ≈ 0,079` .

Opgave 2
a

Elk lijnstukje is de hypotenusa van een rechthoekig driehoekje met rechthoekszijden `∆x` en `∆y_k` . En dus bereken je de lengte ervan met de stelling van Pythagoras.

b

Doen.

c

`L = int_0^1 sqrt(1 + (g'(x))^2) dx = int_0^1 sqrt(1 + (3x^2)^2) text(d)x ≈ 1,55` .

Opgave 3

Bereken eerst de snijpunten van beide grafieken door `f(x) = g(x)` op te lossen. Je vindt `(text(-)2, 0)` en `(1, 3)` .
Nu is `text(opp)(V) = int_(text(-)2)^1 (4 - x^2 - (x + 2)) text(d)x = int_(text(-)2)^1 (text(-)x^2 - x + 2) text(d)x = ` `[text(-)1/3 x^3 - 1/2 x^2 + 2x]_(text(-)2)^1 = 4,5` .

Opgave 4
a

`g'(x)=1` .
`L = int_(text(-)2)^1 sqrt(1 + 1^2) text(d)x = [ sqrt(2)*x ]_(text(-)2)^1 = 3 sqrt(2)` .

b

Met de stelling van Pythagoras: `L = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(18) = 3 sqrt(2)` .

c

`f'(x) = text(-)2 x`
De gevraagde omtrek is `3 sqrt(2) + int_(text(-)2)^1 sqrt(1 + (text(-)2x)^2) text(d)x ≈ 10,37` .

Opgave 5
a

`2 * int_(text(-)2)^2 sqrt(4 - x^2) text(d)x ~~ 12,57` .

b

`2 * int_(1)^2 sqrt(4 - x^2) text(d)x ~~ 2,46` .
De snijpunten van `x = 1` met de cirkel zijn `A(1, text(-)sqrt(3))` en `B(1, sqrt(3))` .
Het vlakdeel vormt samen met driehoek `OAB` een cirkelsector.
De sectorhoek `AOB` is `120^@` dus de cirkelsector is éénderde deel van de hele cirkel en heeft daarom een oppervlakte van `1/3 * pi * 2^2 = 4/3 pi` . De oppervlakte van driehoek `OAB` is `sqrt(3)` . Dus het vlakdeel heeft een oppervlakte van `4/3 pi - sqrt(3) ~~ 2,46` .

c

De afgeleide van `f(x) = sqrt(4 - x^2)` is `f'(x) = (text(-)x)/(sqrt(4 - x^2))` .
De omtrek van de cirkel is `2 * int_(text(-)2)^2 sqrt(1 + ((text(-)x)/(sqrt(4 - x^2)))^2) text(d)x = 2 * int_(text(-)2)^2 sqrt(4/(4 - x^2)) text(d)x ~~ 12,57` .

Opgave 6
a

De oppervlakte is `int_(text(-)1)^2 (g(x) text(-) f(x)) text(d)x = int_(text(-)1)^2 (text(-)2x^2 + 2x + 4) text(d)x` .
Dat geeft: `[text(-)2/3 x^3 + x^2 + 4x]_(text(-)1)^2 = (text(-)16/3 + 4 + 8) - (2/3 + 1 - 4) = 9` .

b

De oppervlakte is `int_(2)^4 (f(x) - g(x)) text(d)x = int_(2)^4 (2x^2 - 2x - 4) text(d)x` .
Dat geeft: `[2/3 x^3 - x^2 - 4x ]_2^4 = (128/3 - 16 - 16 ) - (16/3 - 4 - 8 ) = 17 1/3` .

Opgave 7

Je moet oplossen `int_a^3 sqrt(3 - x) text(d)x = 18` .
Na primitiveren en invullen van de grenzen krijg je `2/3(3 - a)sqrt(3 - a) = 18` . Dit geeft `a = text(-)6` .

Opgave 8
a

`int_1^2 sqrt(1 + (3x^2 - 1/(12x^2))^2)text(d)x ≈ 7,04`

b

`int_1^4 sqrt(1 + (3/(2sqrt(x)))^2) dx = int_1^4 sqrt(1 + 9/4 x) text(d)x ≈ 7,63`

Opgave 9
a

De nulpunten zijn: `(text(-)3, 0)` , `(text(-)2, 0)` , `(2, 0)` en `(3, 0)` .
De extremen zijn: max. `f(0) = 36` en min. `f(+text(-)1/2 sqrt(26)) = text(-)6,25` .

b

`text(opp)(V) = int_(text(-)2)^2 (x^4 - 13x^2 + 36) text(d)x` geeft `[1/5 x^5 -13/3 x^3 + 36x]_(text(-)2)^2 = 87 7/15` .

c

De raaklijn in `(3, 0)` met `f'(3) = 30` heeft vergelijking `y = 30x - 90` .
`text(opp)(W) = int_0^3 (x^4 - 13x^2 + 36 - 30x + 90) text(d)x` en dit geeft `[1/5x^5 - 13/3 x^3 - 15x^2 + 126x ]_0^3 = 174,6` .

Opgave 10

De snijpunten van de lijn en de grafiek vind je uit de vergelijking: `x + 1/x = 2 1/2` . Dit geeft `x = 0,5 ∨ x = 2` .
De oppervlakte is `int_(0,5)^2 (2 1/2 - x - 1/x) text(d)x` . Deze integraal kun je op dit moment alleen met de GR bepalen. Je vindt: `≈0,4887` .

Opgave 11
a

De grafieken snijden elkaar in `(text(-)2, 0)` en `(2, 0)` . Verder gaat de grafiek van `g` ook door `(0, text(-)4)` . Teken de lijn `x = p` , waarbij `text(-)2 < p < 0` .
De oppervlakte van `Delta OAB` is `1/2 * text(-)p * |AB| = text(-)1/2 p * (f(p) - g(p)) = text(-)1/2 p ((p^2 - 4)(2p + 1) - (p^2 - 4)) = text(-)p^4 + 4p^2 = 3` .
Deze vergelijking is te ontbinden in `(p^2 - 3)(p^2 - 1) = 0` . Dit geeft als enige mogelijkheden `p = text(-)1 vv p = text(-)sqrt(3)` .

b

`(ax^2 - 4)(2x + 1) = (ax^2 - 4)` geeft `ax^2 - 4 = 0 ∨ 2x + 1 = 1` en dus `x = ±sqrt(4/a) ∨ x = 0` .
Nu kun je de oppervlaktes van de twee vlakdelen bepalen met behulp van primitiveren.
Na veel gedoe met haakjes vind je dat beide oppervlaktes gelijk zijn aan `8/a` .

Opgave 12
a

Vensterinstellingen bijvoorbeeld `[0, 12] xx [text(-)2, 3]` .

b

De snijpunten met de assen bereken je algebraïsch: `x + 3 - 4sqrt(x) = 0` geeft `4sqrt(x) = x + 3` en dus `16x = x^2 + 6x + 9` . Hieruit vind je `x = 1 vv x = 9` .
De raaklijn in `(1, 0)` is `y = text(-)x + 1` . De raaklijn in `(9, 0)` is `y = 1/3 x - 3` .
Hun snijpunt (algebraïsch) is `(3, text(-)2)` .
De oppervlakte van de gevraagde driehoek wordt daarom `1/2 * 8 * 2 = 8` .

c

De lengte is `int_1^9 sqrt(1 + (1 - 2/(sqrt(x)) ^2)text(d)x = int_1^9 sqrt(2 - 4/(sqrt(x)) + 4/x) text(d)x ≈ 8,366164` .

Opgave 13
a

Nulpunten (algebraïsch) zijn `(2 , 0 )` en `(4 , 0 )` .

b

`text(opp)(G) = int_0^2 (4 - 4 (x-3)^(text(-)2)) text(d)x= [ 4x + 4/(x-3) ]_0^2 = 5 1/3`

c

`f'(x) = 8/((x - 3)^3)` , dus de totale omtrek is `2 + 3 5/9 + int_0^2 sqrt(1 + (8/((x - 3)^3))^2) text(d)x ~~ 9,93` .

Opgave 14
a

Doen. Maak eventueel eerst de grafiek van `f` op de GR met venster `[0, 2]xx[0, 5]` .

b

`text(opp)(G)= int_0^(root[3](4)) (4 - x sqrt(x) - 2) text(d)x = int_0^(root[3](4)) (2 - x^(1 1/2)) text(d)x = [2x - 2/5 x^(2 1/2)]_0^(root[3](4)) ≈ 1,90`

c

`int_1^4 sqrt(1 + (text(-)3/2 x^(1/2))^2) text(d)x = int_1^4 sqrt(1 + 9/4 x) text(d)x = [2/3(1 + 9/4 x)^(3/2) * 4/9]_1^4 ≈ 7,63`

verder | terug