Integraalrekening > Oppervlakte en lengte
123456Oppervlakte en lengte

Voorbeeld 2

Bereken de omtrek van het vlakdeel `V` ingesloten door de grafieken van `f(x)=x^2` en `g(x)=x^4` op het interval `[0 , 1 ]` .

> antwoord

De omtrek van `V` is de som van de lengte `L_f` van de grafiek van `f` op interval `[0 , 1 ]` en de lengte `L_g` van de grafiek van `g` op datzelfde interval.
Nu is `f ′(x)=2 x` en `g′(x)=4 x^3` .
En dus is de omtrek van `V` :

`L = L_f + L_g = int_0^1 sqrt( 1 + (2 x)^2 ) text(d)x + int_0^1 sqrt( 1 + (4 x^3) ^2 ) text(d)x`

Beide integralen zijn alleen met de grafische rekenmachine te bepalen.
Ga na dat de omtrek van `V` ongeveer `1,479 +1,600 =3,079` is.

Opgave 4

Gegeven zijn de functies `f(x)=4 -x^2` en `g(x)=x+2` .

a

Bereken lengte van de grafiek van `g` op het interval `[text(-)2 , 1 ]` met behulp van integreren. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3.

b

Omdat de grafiek van `g` op het interval `[text(-)2 , 1 ]` een lijnstuk is, kun je deze lengte ook berekenen met behulp van meetkundige technieken. Ga na, dat je daarmee dezelfde uitkomst krijgt.

c

Bereken de omtrek van het vlakdeel `V` ingesloten door de grafieken van beide functies.

verder | terug