Integraalrekening > Oppervlakte en lengteVoorbeeld 3
Bereken met behulp van integreren de oppervlakte en de omtrek van de cirkel `c` met middelpunt `O` en straal `1` in twee decimalen nauwkeurig.
Omdat voor elk punt van de cirkel geldt
`x^2+y^2=1`
, kun je hem beschrijven met twee functies:
`y_1 = sqrt(1 - x^2)`
en
`y_2 = text(-) sqrt(1 - x^2)`
.
Voor de berekening van oppervlakte en omtrek kijk je alleen naar de bovenste helft, dus
`y_1`
.
`text(opp)(c)=2 * int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 - x^2 ) text(d)x ≈ 3,14` .
Voor de omtrek (booglengte `L(c)` ) geldt:
`L(c)=2 * int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 + ((text(-)x)/(sqrt(1 - x^2)))^2) text(d)x= int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 + x^2/(1 - x^2)) text(d)x ≈ 6,28` .
Denk er om dat je niet hebt bewezen dat de oppervlakte `π` en de omtrek `2 π` is. Je hebt ze alleen benaderd met je GR. Je kunt met integreren ook gemakkelijk de oppervlakte van een deel van de cirkel berekenen...
In Voorbeeld 3 worden de oppervlakte en de omtrek van een cirkel met straal `1` berekend.
Bereken met behulp van integraalrekening de oppervlakte van een cirkel met straal `2` .
Bereken door integreren de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de cirkel `x^2 + y^2 = 4` en de lijn `x = 1` , dat rechts van die lijn ligt, in twee decimalen nauwkeurig. Bereken deze oppervlakte ook meetkundig.
Benader door integreren de omtrek van een cirkel met straal `2` . Ga na, dat je uitkomst overeen komt met de formule voor de omtrek van een cirkel.