Integraalrekening > Oppervlakte en lengteVoorbeeld 3
Bereken met behulp van integreren de oppervlakte en de omtrek van de cirkel `c` met middelpunt `O` en straal `1` in twee decimalen nauwkeurig.
Omdat voor elk punt van de cirkel geldt
`x^2+y^2=1`
, kun je hem beschrijven met twee functies:
`y_1 = sqrt(1 - x^2)`
en
`y_2 = text(-) sqrt(1 - x^2)`
.
Voor de berekening van oppervlakte en omtrek kijk je alleen naar de bovenste helft,
dus
`y_1`
.
`text(opp)(c)=2 * int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 - x^2 ) text(d)x ≈ 3,14` .
Voor de omtrek (booglengte `L(c)` ) geldt:
`L(c)=2 * int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 + ((text(-)x)/(sqrt(1 - x^2)))^2) text(d)x= int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 + x^2/(1 - x^2)) text(d)x ≈ 6,28` .
Denk er om dat je niet hebt bewezen dat de oppervlakte `π` en de omtrek `2 π` is. Je hebt ze alleen benaderd met je GR. Je kunt met integreren ook gemakkelijk de oppervlakte van een deel van de cirkel berekenen...
In
Bereken met behulp van integraalrekening de oppervlakte van een cirkel met straal `2` .
Bereken door integreren de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de cirkel `x^2 + y^2 = 4` en de lijn `x = 1` , dat rechts van die lijn ligt, in twee decimalen nauwkeurig. Bereken deze oppervlakte ook meetkundig.
Benader door integreren de omtrek van een cirkel met straal `2` . Ga na, dat je uitkomst overeen komt met de formule voor de omtrek van een cirkel.