Integraalrekening > Oppervlakte en lengte
123456Oppervlakte en lengte

Voorbeeld 3

Bereken m.b.v. integreren de oppervlakte en de omtrek van de cirkel `c` met middelpunt `O` en straal `1` in twee decimalen nauwkeurig.

> antwoord

Omdat voor elk punt van de cirkel geldt `x^2+y^2=1` , kun je hem beschrijven met twee functies: `y_1 =sqrt(1 -x^2)` en `y_2 = text(-) sqrt(1 -x^2)` .
Voor de berekening van oppervlakte en omtrek kijk je alleen naar de bovenste helft, dus `y_1` .

`text(opp)(c)=2 * int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 -x^2 ) text(d)x ≈ 3,14` .

Voor de omtrek (booglengte `L(c)` ) geldt:

`L(c)=2 * int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 + ( (text(-)x) / (sqrt( 1 -x^2 )) ) ^2 ) text(d)x= int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 +x^2/ (1 -x^2) ) text(d)x ≈ 6,28` .

Denk er om dat je niet hebt bewezen dat de oppervlakte `π` en de omtrek `2 π` is. Je hebt ze alleen benaderd met je GR. Je kunt met integreren ook gemakkelijk de oppervlakte van een deel van de cirkel berekenen...

Opgave 5

In Voorbeeld 3 worden de oppervlakte en de omtrek van een cirkel met straal `1` berekend.

a

Bereken met behulp van integraalrekening de oppervlakte van een cirkel met straal `2` .

b

Bereken door integreren de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de cirkel `x^2 + y^2 = 4` en de lijn `x = 1` in twee decimalen nauwkeurig. Bereken deze oppervlakte ook meetkundig.

c

Benader door integreren de omtrek van een cirkel met straal `2` . Ga na, dat je uitkomst overeen komt met de formule voor de omtrek van een cirkel.

verder | terug