Integraalrekening

Integraalrekening > Oppervlakte en lengte

123456Oppervlakte en lengte

Voorbeeld 3

Bereken m.b.v. integreren de oppervlakte en de omtrek van de cirkel $c$ met middelpunt $O$ en straal $1$ in twee decimalen nauwkeurig.

> antwoord

Omdat voor elk punt van de cirkel geldt $x^2+y^2=1$ , kun je hem beschrijven met twee functies: $y_1 =sqrt(1 -x^2)$ en $y_2 = text(-) sqrt(1 -x^2)$ .
Voor de berekening van oppervlakte en omtrek kijk je alleen naar de bovenste helft, dus $y_1$ .

$text(opp)(c)=2 * int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 -x^2 ) text(d)x ≈ 3,14$ .

Voor de omtrek (booglengte $L(c)$ ) geldt:

$L(c)=2 * int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 + ( (text(-)x) / (sqrt( 1 -x^2 )) ) ^2 ) text(d)x= int_(text(-)1)^1 sqrt( 1 +x^2/ (1 -x^2) ) text(d)x ≈ 6,28$ .

Denk er om dat je niet hebt bewezen dat de oppervlakte $π$ en de omtrek $2 π$ is. Je hebt ze alleen benaderd met je GR. Je kunt met integreren ook gemakkelijk de oppervlakte van een deel van de cirkel berekenen...

Opgave 5

In Voorbeeld 3 worden de oppervlakte en de omtrek van een cirkel met straal $1$ berekend.

Bereken met behulp van integraalrekening de oppervlakte van een cirkel met straal $2$ .

Bereken door integreren de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de cirkel $x^2 + y^2 = 4$ en de lijn $x = 1$ in twee decimalen nauwkeurig. Bereken deze oppervlakte ook meetkundig.

Benader door integreren de omtrek van een cirkel met straal $2$ . Ga na, dat je uitkomst overeen komt met de formule voor de omtrek van een cirkel.

verder | terug