Integraalrekening > Oppervlakte en lengte
123456Oppervlakte en lengte

Uitleg

Je ziet hier het vlakdeel `V` ingesloten door de grafieken van `f(x)=x^2` en `g(x)=x^3` .
De oppervlakte van dit vlakdeel vind je door de integraal van `f` op `[0 , 1 ]` en de integraal van `g` op `[0 , 1 ]` van elkaar af te trekken:
`text(opp)(V) = int_0^1 f(x)text(d)x - int_0^1 g(x)text(d)x` .
Vanwege de somregel voor integreren kun je dit schrijven als:
`text(opp)(V) = int_0^1 (f(x)-g(x))text(d)x` .

Je krijgt dan:
`text(opp)(V) = int_0^1 (x^2 - x^3)text(d)x = [1/3 x^3 - 1/4 x^4]_0^1 = 1/12`

Deze wijze van oppervlakteberekening kun je heel algemeen toepassen.
Geldt op een bepaald interval `[a, b]` dat `f(x) ge g(x)` , dan is de oppervlakte van het vlakdeel `V` dat door beide grafieken wordt ingesloten op dat interval gelijk aan:
`text(opp)(V) = int_a^b (f(x)-g(x))text(d)x`
Of de grafieken onder of boven de `x` -as liggen, maakt daarbij niet uit.

Opgave 1

In de uitleg zie je hoe je de oppervlakte kunt berekenen van het gebied ingesloten door de grafieken van `f(x)=x^2` en `g(x)=x^3` .

a

Bereken de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van `f` en `g` en de lijn `x=2` .

b

Bereken de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van `f` en `g` en de lijn `y=2` .

verder | terug