Integraalrekening > Oppervlakte en lengte
123456Oppervlakte en lengte

Uitleg

Het vlakdeel `V` wordt ingesloten door de grafieken van `f(x)=x^2` en `g(x)=x^3` .

Wil je ook de omtrek van `V` berekenen, dan moet je de lengte van de grafiek van `f` op `[0 , 1 ]` en die van de grafiek van `g` op `[0 , 1 ]` optellen. Maar hoe bereken je zo'n lengte?

De lengte `L` van de grafiek van `f` op `[0 , 1 ]` wordt benaderd door dit interval op te delen in deelintervallen met een breedte van `∆x` . Op elk deelinterval heeft de grafiek een beginpunt en een eindpunt, het lijnstukje tussen beide benadert de grafiek steeds beter naarmate `∆x` naar `0` nadert. Als je de lengtes van al die lijnstukjes optelt, krijg je een benadering van `L` :

`L ≈ sum_(k=1)^n sqrt( (∆x)^2+ (∆y_k)^2)= sum_(k=1)^n sqrt(1 + ( (∆y_k) / (∆x) )^2)*∆x`

Laat je nu `∆x` steeds dichter naar `0` naderen, dan nadert `(∆y_k) / (∆x)` naar `f ′(x_k)` .
De Riemannsom gaat dan over in: `L = int_0^1 sqrt(1 + (f ′(x))^2)text(d)x` .
Omdat `f ′(x)=2 x` wordt dit: `L = int_0^1 sqrt(1 +4 x^2)text(d)x = 1,47894...` .

Opgave 2

Bestudeer hoe in de uitleg de lengte van een grafiek met behulp van integreren kan worden berekend.

a

Waar komt de uitdrukking `(∆x)^2+ (∆y_k)^2` in de Riemannsom vandaan?

b

Controleer zelf de benadering van de lengte van de grafiek van `f(x)=x^2` op het interval `[0 , 1 ]` door met behulp van de grafische rekenmachine de bijbehorende integraal te berekenen.

c

Bereken de lengte van de grafiek van `g(x)=x^3` op het interval `[0 , 1 ]` .

verder | terug