Integraalrekening > OmwentelingslichamenAntwoorden van de opgaven
Doen, maak een mooie 3D-tekening, bekijk de figuren.
Bekijk de figuur en doorloop de diverse stappen.
Doen.
`I = int_0^20 π(0,25x)^2 text(d)x`
`int_(text(-)2)^2 π*(4 - x^2)^2 text(d)x = int_(text(-)2)^2 π*(16 - 8x^2 + x^4) text(d)x = [π*(16x - 8/3 x^3 + 1/5 x^5)]_(text(-)2)^2 = 512/15 π` .
`y = 4 - x^2` wordt `x = +-sqrt(4 - y)` en de integraal wordt `int_0^4 pi x^2 text(d)y` .
`int_0^4 pi(sqrt(4 - y))^2 text(d)y = int_0^4 pi(4 - y) text(d)y = [pi(4y - 0,5y^2)]{:(4),(0):} = 8pi` .
De lijn `y=r/h*x` gaat door `(0, 0)` en `(h, r)` . Deze lijn wentelen om de `x` -as geeft de gewenste kegel.
`int_0^h pi * (r/h x)^2 text(d)x = int_0^y (pi r^2)/(h^2) * x^2 text(d)x = [(pi r^2)/(h^2) * 1/3 x^3]{:(h),(0):} = (pi r^2)/(h^2) * 1/3 h^3 = 1/3pi r^2 h`
`int_0^h pi * r^2 text(d)x = [pi r^2 * x]{:(h),(0):} = pi r^2 h` .
Door `I(r) = 4/3 πr^3` te differentiëren.
Het gaat bij een kegel en een cilinder over twee variabelen `r` en `h` en niet zoals bij de bol maar om ééntje. De oppervlakte van die twee lichamen bepaal je meetkundig. Een cilinder is een rechthoek met lengte `2 πr` en hoogte `h` . Een kegel is het `r/(sqrt(r^2 + h^2))` deel van een cirkel met straal `sqrt(r^2 + h^2)` .
Je krijgt een ringvormig lichaam.
`int_0^1 pi * (4 - x^2)^2 text(d)x - int_0^1 pi * (4 - x)^2 text(d)x = int_0^1 pi *
(16 - 8x^2 + x^4) text(d)x - int_0^1 pi * (4 - x)^2 text(d)x`
.
Primitiveren geeft:
`[pi * (16x - 8/3 x^3 + 1/5 x^5)]{:(1),(0):} - [pi * (4x - 1/2 x^2)]{:(1),(0):} = 1,2
pi`
.
`h(x) = f(x) - g(x)` is een functie waarvan de functiewaarden dichter bij de `x` -as liggen dan die van `f` en `g` afzonderlijk. Bij het wentelen om de `x` -as maak je dan een sommatie van schijfjes met een veel te kleine straal.
Je krijgt nu een paraboloïde waar een kegel uit weg is gesneden.
`int_3^4 pi(sqrt(4 - y))^2 text(d)x - int_3^4 pi(4 - y)^2 text(d)y = int_3^4 pi(4 -
y) text(d)x - int_3^4 pi(16 - 8y + y^2)^2 text(d)y`
.
Primitiveren geeft:
`[pi * (4y - 1/2 y^2)]{:(4),(3):} - [pi * (16y - 4 y^2 + 1/3 y^3)]{:(4),(3):} = 1/6
pi`
.
`int_1^6 pi(x^2 - 7x + 6)^2 text(d)x = 104 1/6 pi` .
`int_0^4 pi(x + 4 - 4x^(0,5))^2 text(d)x = 64/15 pi` .
`int_2^4 pi(8/x)^2 text(d)x = [pi * text(-) 64/x]_2^4 = 16 pi` .
Eerst
`y = x^3`
herleiden tot
`x = root3 (y)`
.
Dan:
`int_0^4 pi(root[3](y))^2 text(d)y = int_0^4 pi * y^(2/3) text(d)y = [pi * 3/5 y^(5/3)]{:(4),(0):}
= 2,4pi root[3](16)`
.
Eerst raaklijn opstellen door
`O`
en
`(p, 1/2 p^2 + 8)`
met richtingscoëfficiënt
`f'(p) = p`
. Dit geeft
`p = +-4`
. De raaklijnen worden
`y = +-4x`
.
Nu
`y = 1/2 x^2 + 8`
herleiden tot
`x = +-sqrt(2y - 16)`
en
`y = 4x`
herleiden tot
`x = 0,25y`
.
De inhoud wordt
`int_0^16 pi(0,25y)^2 text(d)y - int_8^16 pi(sqrt(2y - 16))^2 text(d)y = 21 1/3 pi`
.
Verschuif je de grafiek van
`f`
drie eenheden naar beneden dan kun je het vlakdeel
`V`
wentelen om de
`x`
-as. De verschoven functie heeft het functievoorschrift:
`g(x) = x - 4sqrt(x)`
.
De gevraagde inhoud wordt:
`int_0^(16) pi(x - 4sqrt(x))^2 text(d)x = int_0^(16) pi(x^2 - 8x^(1,5) + 16x)^2 text(d)x
=`
`[pi(1/3 x^3 - 16/5 x^(2,5) + 8x^2)]{:(16),(0):} = 136 8/15 pi`
.
`text(opp)(G) = int_0^3 (text(-)(x - 2)^2 + 6 - x^2 + 2x - 2) text(d)x = int_0^3 (text(-)2x^2 + 6x) text(d)x =` `[text(-)2/3 x^3 + 3x^2]_0^3 = 9` .
`I = int_0^3 pi(text(-)(x - 2)^2 + 6)^2 text(d)x - int_0^3 pi(x^2 - 2x + 2)^2 text(d)x =` `[pi(text(-)x^4 + 4/3x^3 + 12x^2)]_0^3 = 63pi` .
`int_a^r pi(sqrt(r^2 - x^2))^2 text(d)x = int_a^r pi(r^2 - x^2) text(d)x = [pi(r^2 x - 1/3 x^3)]{:(r),(a):} =` `2/3 pi r^3 - pi r^2 a + 1/3 pi a^3` .
Je krijgt de bedoelde kegel door
`y = (sqrt(r^2 - a^2))/a * x`
te wentelen om de
`x`
-as.
Dit geeft:
`int_0^a pi((sqrt(r^2 - a^2))/a * x)^2 text(d)x = int_0^a pi((r^2 - a^2)/(a^2) * x^2)
text(d)x =`
`[pi((r^2 - a^2)/(a^2) * 1/3 x^3)]{:(a),(0):} = 1/3 pi r^2 a - 1/3 pi a^3`
.
De totale bolsector heeft dan als inhoud:
`2/3 pi r^2 (r - a)`
.
Merk eerst op dat
`q = sqrt(p)`
.
Nu is de inhoud van het lichaam dat ontstaat door
`V`
om de
`x`
-as te wentelen
`int_0^p pi(sqrt(x))^2 text(d)x = 1/2 pi p^2`
.
Verder is de inhoud van het lichaam dat ontstaat door
`W`
om de
`y`
-as te wentelen
`int_0^(sqrt(p)) pi(y^2)^2 text(d)y = 1/5 pi (sqrt(p))^5`
.
Dus moet:
`1/2 pi p^2 = 1/5 pi (sqrt(p))^5`
zodat
`5p^2 = 2p^2 sqrt(p)`
en
`p^2(5 - 2sqrt(p)) = 0`
.
Dit geeft
`p = 0 vv p = 6,25`
.
Nulpunten (algebraïsch) zijn `(±1, 0)` , verticale asymptoot `x = 0` , horizontale asymptoot `y = 2` .
`text(opp)(V) = int_1^3 (x - (2 - 2/(x^2))) text(d)x = [1/2 x^2 - 2x - 2/x]{:(3),(1):} = 1 1/3` .
`I = int_1^3 pi x^2 text(d)x - int_1^3 pi (2 - 2/(x^2))^2 text(d)x = [pi(1/3 x^3 - (4x + 8/x - 4/(3x^3)))]{:(3),(1):} = 3 58/81 pi` .
Eerst
`y = 4 -xsqrt(x)`
herleiden naar
`y = (4 -y)^(2/3)`
.
De gevraagde inhoud is
`int_2^4 π((4 - y)^(2/3))^2 text(d)x = [text(-)3/7 π(4 - y)^(7/3)]_2^4 = 12/7 π root[3](2)`
.