Integraalrekening > Omwentelingslichamen
123456Omwentelingslichamen

Voorbeeld 2

Hier zie je het vlakdeel(tje) ingesloten door de grafieken van `f(x) = 4 - x^2` en `g(x) = 4 - x` .
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door `V` om de `x` -as te wentelen.

> antwoord

Eerst bereken je de snijpunten van de grafieken: `(0, 4)` en `(1, 3)` .

Vervolgens constateer je dat het omwentelingslichaam een soort van ring wordt: uit het lichaam dat ontstaat door de grafiek van `f` op `[0, 1]` om de `x` -as te wentelen wordt het lichaam dat ontstaat door de grafiek van `g` op `[0, 1]` om de `x` -as te wentelen weg geboord.
De gevraagde inhoud is daarom:
`I= int_0^1 π(4 - x^2 )^2 text(d)x - int_0^1 π(4 - x)^2 text(d)x`

Door haakjes uitwerken en primitiveren vind je: `I = 1,2 π` .

Opgave 5

Bestudeer nu eerst Voorbeeld 2.

a

Schets het omwentelingslichaam dat ontstaat door `V` om de `x` -as te wentelen.

b

Bereken zelf door haakjes uitwerken en primitiveren de inhoud van het omwentelingslichaam.

c

Waarom is het niet mogelijk om de inhoud van dit lichaam te berekenen met
`int_0^1 pi(f(x) - g(x))^2 text(d)x` ?

verder | terug