Integraalrekening > OmwentelingslichamenVoorbeeld 3
Hier zie je het vlakdeel(tje) ingesloten door de grafieken van
`f(x) = 4 - x^2`
en
`g(x) = 4 - x`
.
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door
`V`
om de
`y`
-as te wentelen.
Eerst bereken je de snijpunten van de grafieken: `(0, 4)` en `(1, 3)` .
Vervolgens constateer je dat het omwentelingslichaam een soort van hoedje wordt:
uit het lichaam dat ontstaat door de grafiek van
`f`
op
`[f(0), f(1)]`
om de
`y`
-as te wentelen wordt de kegel die ontstaat door de grafiek van
`g`
op
`[g(0), g(1)]`
om de
`y`
-as te wentelen weg geboord.
Dan moet je van beide functies de inverse bepalen:
-
`f(x) = y = 4 - x^2` wordt: `x = sqrt(4 - y)`
-
`g(x) = y = 4 - x` wordt: `x = 4 - y`
De gevraagde inhoud is daarom:
`I= int_3^4 π(sqrt(4 - y))^2 text(d)y - int_3^4 π(4 - y)^2 text(d)y`
Door haakjes uitwerken en primitiveren vind je:
`I = 1/6 π`
.
Bestudeer nu eerst
Schets het omwentelingslichaam dat ontstaat door `V` om de `y` -as te wentelen.
Bereken zelf door haakjes uitwerken en primitiveren de inhoud van het omwentelingslichaam.