Integraalrekening > OmwentelingslichamenUitleg
Je ziet hier hoe het vlakdeel ingesloten door de grafiek van
`f(x) = sqrt(x)`
en de
`y`
-as op het interval
`[0, 4]`
om de
`y`
-as wordt gewenteld.
Dit vlakdeel wordt ook begrensd door de lijn
`y = 2`
. Het omwentelingslichaam dat zo ontstaat kun je benaderen door smalle cilinders door
op de
`y`
-as het interval
`[0, 2]`
in deelintervallen met een breedte van
`∆y`
te verdelen. De inhoud van zo'n cilinder is
`π x^2 ∆y`
.
Als het aantal deelintervallen oneindig groot wordt, dat gaat
`∆y`
naar
`0`
en de inhoud van het omwentelingslichaam wordt een integraal van de vorm:
`I = int_0^2 πx^2 text(d)y`
Deze integraal kun je berekenen door het functievoorschrift `y = sqrt(x)` te herleiden naar `x = y^2` .
De inhoud van het omwentelingslichaam wordt dan:
`I = int_0^2 π (y^2)^2 text(d)y = int_0^2 πy^4 text(d)y = [1/5 πy^5]_0^2 = 6,4 π`
In
Gegeven de functie
`f(x) = 4 - x^2`
.
`V`
is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van
`f`
en de
`x`
-as.
Laat zien, dat je de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat kunt berekenen met de integraal `int_0^4 pi(sqrt(4 - y))^2 text(d)y` .
Bereken deze inhoud met behulp van primitiveren.