`ul(S) = 1 * 4,5 + 1 * 4 + 1 * 3,5 + 1 * 3 = 15` en `bar(S) = 1 * 5 + 1 * 4,5 + 1 * 4 + 1 * 3,5 = 17` .

`ul(S) = 0,5 * (4,75 + 4,5 + 4,25 + 4 + 3,75 + 3,5 + 3,25 + 3) = 15,5` en `bar(S) = 0,5 * (5 + 4,75 + 4,5 + 4,25 + 4 + 3,75 + 3,5 + 3,25) = 16,5` .
Hun verschil is `1` .

`F(x) = 0,4x^2 sqrt(x) - 12,8`

`F(x) = 1/8 sqrt(1 + 4x) - 3/8`

`F(x) = text(-) 1/x + 1/(6 - 4x) + 1`

`int x^2 sqrt(2x) text(d)x = int sqrt(2) x^(2 1/2) text(d)x = 2/7 sqrt(2) x^(3 1/2) + c = 2/7 x^3 sqrt(2x) + c`

`int (x^2 - 4)^2 text(d)x = int (x^4 - 8x^2 + 16) text(d)x = 1/5 x^5 - 8/3 x^3 + 16x + c`

`int x sqrt(2 + x^2) text(d)x = int 1/2 * 2x(2 + x^2)^(0,5) text(d)x = 1/3(2 + x^2)^(1,5) + c = 1/3(2 + x^2)sqrt(2 + x^2) + c`

`int_1^8 7 root[3](x) text(d)x = int_1^8 7 x^(1/3) text(d)x = [21/4 x^(4/3)]{:(8),(1):} = 78,75`

`int_0^2 2/((1 + 2x)^2) text(d)x = int_0^2 2 * (1 + 2x)^(text(-)2) text(d)x = [(text(-)1)/(1 + 2x)]{:(2),(0):} = 0,8`

`int_1^4 3/(sqrt(x)) - 5 sqrt(x) text(d)x = [6sqrt(x) - 10/3 x sqrt(x)]{:(4),(4):} = text(-)17 1/3`

`[1/6 x^3 - 1 1/2 x^2 + 4x]_0^6 = 6`

`2 * int_0^2 1/2 x^2 - 3x + 4 text(d)x - int_2^4 1/2 x^2 - 3x + 4 text(d)x = 2 * 3 1/3 + 2/3 = 7 1/3`

Nee, want de grafiek ligt zowel onder als boven de `x` -as en daar moet je bij het berekenen van een oppervlakte rekening mee houden.

`f'(x) = x - 3` en dus is `L = int_2^4 sqrt(1 + (x - 3)^2) text(d)x ~~ 2,30` .

`int_a^3 sqrt(3 - x) text(d)x = 18` geeft `2/3(3 - a)sqrt(3 - a) = 18` . Hieruit volgt `a = text(-)6` .

`int_0^b sqrt(3 - x) text(d)x = int_b^3 sqrt(3 - x) text(d)x` geeft `2/3(3 - b)sqrt(3 - b) = text(-)2/3(3 - b)sqrt(3 - b) + 2/3` en daaruit volgt `b = 3 - 3 root[3](0,25)` .

$I=\underset{1}{\overset{p}{\int }}\pi \cdot \frac{1}{x^2}\text{d}x=\pi \cdot (1-\frac{1}{p})$.

Als $p\to \infty$, dan $I\to \pi \cdot 1=\pi$.

`y = +-sqrt(4 - 1/4 x^2)`

De oppervlakte is `2 * int_(text(-)4)^4 sqrt(4 - 1/4 x^2) text(d)x ~~ 25,13` (Dit is gelijk aan `pi * 4 * 2 = 8pi` ).

De omtrek is `2 * int_(text(-)4)^4 sqrt(1 + ((text(-)x)/(sqrt(4 - 1/4 x^2)))^2) text(d)x ~~ 19,38` .

$F=C\cdot u$ waarin $C$ de veerconstante is. Verder is door de zwaartekracht $F=m\cdot g=1\cdot 10=10$ N.
Met een veer die stilhangt als $u=\mathrm{0,1}$ m geldt: $C\cdot \mathrm{0,1}=10$ en dus $C=100$ N/m.

`F = F_(text(veer)) - F_z = 100 * 0,2 - 10 = 10` N.

`W = int_0^(0,3) 100 * u text(d)u = 4,5` J.

De parabool is de grafiek van `f(x) = text(-)(x - 6)^2 + 4` .
Dan is `int_4^8 c * f(x) text(d)x = 10 2/3 c` en `int_4^8 c * x * f(x) text(d)x = 64c` .
Dit betekent dat `x_Z * 10 2/3 c = 64c` en dus `x_Z = 6` .

Het zwaartepunt ligt natuurlijk op de symmetrieas van de parabool.

Uit `y = text(-)(x - 6)^2 + 4` volgt `x = +-sqrt(4 - y) + 6` .
Verder is de redenering in de `y` -richting hetzelfde als in de `x` -richting. De horizontale stroken hebben een lengte van `2 sqrt(4 - y)` .

Je vindt nu `y_Z * 10,67c ~~ 17,07c` en dus `y_Z ~~ 1,60` .

Je berekent de zwaartepunten van het vlakdeel ingesloten door `y = 4 - x^2` en de `x` -as en dat van het vlakdeel ingesloten door `y = 3 - x^3` en de `x` -as. Van beide zwaartepunten is `x_Z = 0` .
`y_(Z1) ~~ 1,60` (zie d).
`y_(Z2) * int_0^3 2c sqrt(3 - y) text(d)y = int_0^3 2cy sqrt(3 - y) text(d)y` geeft `y_(Z2) * 6,93 c ~~ 8,31c` geeft `y_(Z2)Z ~~ 1,20` .
Het bedoelde zwaartepunt is nu het gewogen gemiddelde van beide: `y_Z ~~ (10,67 * 1,60 + 6,93 * 1,20)/(10,67 + 6,93) ~~ 1,44` . Dus `Z = (0;1,44)` .

Beide zijden `AC` en `BC` zijn even lang. De hellingsgetallen van deze zijden zijn `1` en `-1` en daarom zitten er bij `C` twee hoeken van $45°$ in de driehoek.

De driehoek is het vlakdeel ingesloten door `y = x + a` , `y = -x + a` en de `x` -as.
`x_Z = 0` vanwege de symmetrie.
`y_Z * int_0^a c * (2a - 2y) text(d)y = int_0^a cy(2a - 2y) text(d)y` geeft `y_Z * ca^2 = 1/3 ca^3` , dus `y_Z = 1/3 a` .

$v(t)=20+2t$

Interval $[0,5]$ verdelen in vijf deelintervallen en gemiddelde nemen van ondersom en bovensom geeft een redelijke schatting.
$\underset{¯}{S_5}=20+22+24+26+28$ m en $\overline{S_5}=22+24+26+28+30$ m. Je vindt dan ongeveer $125$ m.

$v=20$ m/s en dat is $72000$ m/uur. Het verbruik is $N(20)\approx \mathrm{0,00008}$ liter/m en dus $72000\cdot \mathrm{0,00008}=\mathrm{5,76}$ liter/uur.

In het tijdsinterval `[t, t + Delta t]` is de snelheid bij benadering `20 + 2t` als `Delta t` klein is.
De afgelegde weg is dan `Delta s = (20 + 2t) * Delta t` .
Het verbruik is `N(20 + 2t) * Delta s = N(20 + 2t) * (20 + 2t) * Delta t` en dat geeft de juiste formule.

`int_0^5 (1,3 * 10^(text(-)7) * (20 + 2t)^2 - 3,6 * 10^(text(-)6) * (20 + 2t) + 10^(text(-)4)) * (20 + 2t) text(d)t ~~ 0,0117` liter.

De lengte van `AB` is `l = sqrt(p) - p^2` en `(text(d)l)/(text(d)p) = 1/(2 sqrt(p)) - 2p = 0` geeft `p = root[3](1/16)` .

De oppervlakte is gelijk aan `int_1^2 (x^2 - sqrt(x)) text(d)x + int_2^4 (6 - x - sqrt(x)) text(d)x` . Primitiveren geeft `[1/3 x^3 - 2/3 x^(1,5)]{:(2),(1):} + [6x - 1/2 x^2 - 2/3 x^(1,5)]{:(4),(2):} = 3 2/3` .

$h(x)=3-x$ en $\underset{0}{\overset{3}{\int }}cx(3-x)\text{d}x=\mathrm{4,5}c$.
De oppervlakte van driehoek $OAB$ is $\mathrm{4,5}$.
$x_Z\cdot \mathrm{4,5}c=\mathrm{4,5}c$ en dus is het zwaartepunt $Z(1,1)$.

De oppervlakte van het vlakdeel is $3+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{3}{x}\text{d}x\approx \mathrm{6,2958}$.
$\underset{0}{\overset{3}{\int }}c\cdot x\cdot h(x)\text{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}c\cdot x\cdot 3\text{d}x+\underset{1}{\overset{3}{\int }}c\cdot x\cdot \frac{3}{x}\text{d}x=\mathrm{7,5}c$
Dus is $x_Z\cdot \mathrm{6,2985}c\approx \mathrm{7,5}c$ en $x_Z\approx \mathrm{1,19}$.

$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}$ geeft $x=\pm 2$, dus $(-2,-4)$ en $(2,4)$ zijn de toppen.

De lengte van de grafiek van $f$ tussen $(1,5)$ en $(4,5)$ is $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{1+{\left(1-\frac{4}{x}\right)}^2}\text{d}x\approx \mathrm{3,79}$.
De totale omtrek van $V$ is ongeveer $\mathrm{6,79}$.

`1/2x^2 = x` geeft `x = 0` of `x = 2` .
De inhoud is `int_0^2 pi x^2 text(d)x - int_0^2 pi (1/2 x^2)^2 text(d)x = [pi(1/3 x^3 - 1/20 x^5)]{:(2),(0):} = 16/15 pi` .

`(text(d)y)/(text(d)x) = 2/n x` . In `P_n` is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn dus `2/n * n = 2` en dus niet afhankelijk van `n` .

De oppervlakte van `W` is `int_0^n 1/n x^2 text(d)x = [1/(3n) x^3]{:(n),(0):} = 1/3 n^2` .
De oppervlakte van `V` is `n^2 - 1/3 n^2 = 2/3 n^2` .
De verhouding van deze oppervlaktes is `1 : 2` en dus onafhankelijk van `n` .